Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

Introduction et principaux résultats
Un processus de Lévy est un processus stochastique aux accroissements indépendants et stationnaires:
si {X t } t≥0 est un processus de Lévy, X t −X s avec t > s est indépendant de l’histoire
du processus avant le temps s et sa loi ne dépend pas de t ou s séparément mais seulement
de t − s. Cette propriété des accroissements évoque une analogie avec des fonctions linéaires:
on peut dire que les processus de Lévy sont, dans un certain sens, des “processus linéaires” ou
additifs.
Malgré cette simplicité apparente, les processus de Lévy ont des nombreuses propriétés
intéressantes et constituent un domaine d’étude en plein développement: plusieurs ouvrages ont
été publiés récemment [17, 87] et une série de conférences internationales dédiées aux processus
de Lévy et applications a rencontré un grand succès [6].
Sur le plan de modélisation financière, les processus de Lévy fournissent une classe de
modèles avec sauts qui est à la fois suffisamment riche pour bien décrire les données empiriques
et assez simple pour faire beaucoup de calculs analytiquement. L’intérêt de tels modèles en
finance est principalement dû aux trois facteurs suivants.
Premièrement, dans un modèle aux trajectoires continues comme un modèle de diffusion,
le processus de prix se comporte localement comme un mouvement brownien et la probabilité
que le prix bouge beaucoup pendant un temps court est très petite si la valeur de volatilité de
volatilité n’est pas déraisonnablement grande. Cela implique que dans de tels modèles les prix
des options “hors de la monnaie” doivent être beaucoup plus petits que ce que l’on observe
en réalité. Par contre, si le processus de prix peut sauter, même pour une maturité courte on
ne peut pas négliger la probabilité d’un mouvement inattendu du prix qui déplacerait l’option
dans la monnaie.
Deuxièmement, du point de vue de la couverture, les modèles aux trajectoires continues
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