Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

18 INTRODUCTION EN FRANCAIS
Calibration au sens de moindres carrés non-linéaires.
Etant donnés les prix C M des
options cotées sur le marché financier, trouver un modèle exponentielle-Lévy risque neutre Q ∗ ,
tel que
‖C M − C Q∗ ‖ 2 w = inf
Q ‖C M − C Q ‖ 2 w,
où le inf est calculé sur tous les modèles exponentielle-Lévy risque neutres, C Q dénote les prix
calculés dans le modèle Q et
‖C M − C Q ‖ 2 w :=
N∑
w i (C M (T i , K i ) − C Q (T i , K i )) 2 .
i=1
L’ensemble des solutions du problème de calibration au sens de moindres carrés sera noté
Q LS . Je commence par démontrer que dans le contexte de calibration non-paramétrique de
modèles exp-Lévy cette méthode ne permet pas toujours de trouver une solution et est, dans
certaines situations, instable par rapport aux perturbations des données d’entrée C M . Ensuite
je donne des conditions suffisantes (assez restrictives), sous lesquelles le problème de calibration
admet une solution continue par rapport aux données d’entrée (Théorème 2.1 et Proposition
2.5). Comme ces conditions sont rarement vérifiées en pratique, il est nécessaire de trouver
une méthode plus fiable de résolution du problème de calibration. Le premier pas dans cette
direction est de le reformuler comme le problème de trouver un processus de Lévy risque neutre
qui reproduit les prix d’options cotées avec la plus grande précision possible et qui a l’entropie
relative minimale par rapport à un processus a priori à donné parmi toutes les solutions du
problème de calibration au sens de moindres carrés:
Calibration au sens de moindres carrés avec minimisation d’entropie
Etant donnés
les prix C M des options cotées sur le marché financier, et un processus de Lévy a priori P ,
trouver un modèle exponentielle-Lévy risque neutre Q ∗ ∈ Q LS , tel que
I(Q ∗ |P ) =
inf I(Q|P ).
Q∈QLS Les solutions du problème ci-dessus seront appelées solutions au sens de moindres carrés