Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

16 INTRODUCTION EN FRANCAIS
Lévy paramétriques, disponibles dans la littérature financière. La dernière section de ce chapitre
décrit une méthode, due à Carr et Madan [23], permettant de valoriser les options européennes
dans les modèles exp-Lévy à l’aide de la transformée de Fourier. La méthode est fondée sur
l’observation suivante: si on soustrait du prix de l’option call sa valeur intrinsèque:
z T (k) = e −rT E[(e rT +X T
− e k ) + ] − (1 − e k−rT ) + ,
alors la quantité qui reste est, sous certaines conditions, intégrable et on peut évaluer sa transformée
de Fourier:
ζ T (v) :=
∫ +∞
−∞
e ivk z T (k)dk = e ivrT Φ T (v − i) − 1
,
iv(1 + iv)
où Φ T est la fonction caractéristique de X T . Les prix d’options peuvent donc être évalués en
calculant la transformée de Fourier inverse de ζ T .
Cette section est la seule du premier chapitre à contenir des résultats originaux. Premièrement,
j’ai démontré qu’on peut diminuer considérablement l’erreur de troncature dans le calcul
de la transformée de Fourier inverse en remplaçant la valeur intrinsèque de l’option par son prix
dans le modèle de Black et Scholes: si on dénote
˜z T (k) = e −rT E[(e rT +X T
− e k ) + ] − C Σ BS(k),
où CBS Σ (k) est le prix Black et Scholes d’une option call avec volatilité Σ et log-strike k, et
Φ Σ T (v) = exp(− Σ2 T
2 (v2 + iv)), alors la transformée de Fourier de ˜z T (k) est donnée par
˜ζ T (v) = e ivrT Φ T (v − i) − Φ Σ T
(v − i)
.
iv(1 + iv)
Pour presque tous les modèles paramétriques, discutés dans la littérature cette quantité converge
vers zéro plus vite que toute puissance de |v| lorsque |v| → ∞ (notons que ζ T (v) converge
seulement comme |v| −2 ).
Le deuxième apport de cette section est le développement d’une méthode de contrôle d’erreur
pour l’algorithme de Carr et Madan. Supposons que la transformée de Fourier inverse de ˜ζ T
est approchée comme suit:
∫
1 ∞
e −ivk ˜ζT (v)dv =
2π −∞
N−1
L ∑
2π(N − 1)
m=0
w m ˜ζT (v m )e −ikvm + ε T + ε D , (1)