Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

INTRODUCTION EN FRANCAIS 21
Section 3.3 présente un algorithme de choix du paramètre de régularisation α “a posteriori” à
partir des données. Ma méthode, qui est une adaptation du principe de discrépance, développé
par Morozov [74] pour la régularisation de Tikhonov dans les espaces de Banach, consiste à
choisir deux constantes c 1 et c 2 proches de 1, telles que 1 < c 1 < c 2 et trouver la valeur de
paramètre α pour laquelle c 1 δ 2 ≤ ε δ (α) ≤ c 2 δ 2 , où δ est le niveau de bruit dans les données et
la discrépance ε δ (α) est définie par
ε δ (α) := ‖C Qδ α
− CM‖ δ 2 ,
avec Q δ α la solution du problème régularisé avec paramètre de régularisation α et niveau de
bruit δ.
Section 3.5 est consacrée à l’algorithme numérique permettant de résoudre le problème de
calibration discrétisé, une fois que le processus a priori et le paramètre de régularisation ont
été choisis. Le problème est résolu en minimisant la fonctionnelle de calibration approchée
Ĵ α (Q) par la méthode BFGS, faisant intervenir le gradient de la fonctionnelle à minimiser. La
fonctionnelle approchée est donnée par
Ĵ α (Q) =
N∑
w i (ĈQ (T i , K i ) − C M (T i , K i )) 2
i=1
⎛
⎞
+ α ⎝ A M−1
2A 2 + ∑
bP + (e x j
− 1)q j
⎠
j=0
2
M−1
∑
+ α (q j log(q j /p j ) + 1 − q j ) ,
j=0
où ĈQ (T i , K i ) est l’approximation du prix d’une option call avec maturité T i et prix d’exercice
K i , calculée dans le modèle Q en utilisant la méthode de transformée de Fourier. Le gradient
de la fonctionnelle de calibration est évalué analytiquement en utilisant l’équation (3.32).
Dans section 3.6 l’algorithme est appliqué d’abord aux données simulées (à partir d’un
modèle exp-Lévy avec une mesure de Lévy connue) et ensuite aux données réelles. Les tests
sur des données artificielles mettent en évidence la stabilité de l’algorithme et sa capacité de
reconstruire la vraie mesure de Lévy partout sauf dans un petit voisinage de 0 (parce que les
sauts de taille 0 n’ont pas d’influence sur les prix d’options). Les tests sur les données réelles
permettent de tirer un nombre de conclusions importantes.
- Premièrement, un modèle exp-Lévy permet de calibrer des prix d’options d’une seule
maturité avec une grande précision. Cette conclusion contredit les résultats de Medvedev