Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

24 INTRODUCTION EN FRANCAIS
Ce résultat montre que pour chaque processus de Lévy il existe une copule de Lévy qui décrit
sa structure de dépendance, et que pour chaque copule de Lévy et chaque combinaison de lois
unidimensionnelles il existe un processus de Lévy avec des lois de composantes données et dont
la dépendance est décrite par cette copule de Lévy.
Section 4.5 étend la notion de copule de Lévy et les résultats associés aux processus de Lévy
généraux. Les résultats de cette section ont été obtenus dans un travail joint avec Jan Kallsen
[59]. En particulier, la structure de dépendance d’un processus de Lévy général est caractérisé
par une copule de Lévy sur (−∞, ∞] d , c.-à-d., une fonction F : (−∞, ∞] d → (−∞, ∞] avec les
propriétés suivantes:
1. F (u 1 , . . . , u d ) < ∞ si (u 1 , . . . , u d ) ≠ (∞, . . . , ∞),
2. F (u 1 , . . . , u d ) = 0 si u i = 0 pour au moins un i ∈ {1, . . . , d},
3. F est une fonction croissante en d dimensions,
4. F a les fonctions marginales uniformes: pour tout k ∈ {1, . . . , d} et pour tout x k ∈
(−∞, ∞],
lim
c→∞
∑
sgn x j = x k .
(x j ) j≠k ∈{−c,∞} d−1 F (x 1 , . . . , x d ) ∏ j≠k
Dans la dernière section de ce chapitre je calcule les copules de Lévy qui correspondent aux
types de dépendance particuliers. Les composantes d’un processus de Lévy multidimensionnel
sans partie martingale continue sont indépendantes si et seulement s’il a une copule de Lévy
suivante:
d∑ ∏
F ⊥ (x 1 , . . . , x d ) := x i 1 {∞} (x j ).
i=1 j≠i
Les sauts d’un processus de Lévy d-dimensionnel sont dits complètement dépendants s’il existe
un sous-ensemble strictement ordonné S de K := {x ∈ R d : sgn x 1 = · · · = sgn x d }, tel que
∆X t := X t − X t− ∈ S, t ≥ 0. La copule de Lévy de la dépendance complète est
d∏
F ‖ (x 1 , . . . , x d ) := min(|x 1 |, . . . , |x d |)1 K (x 1 , . . . , x d ) sgn x i .
Le dernier chapitre de la thèse est dédié aux applications de copules de Lévy en finance.
Dans les applications on n’a souvent pas assez d’information sur la dépendance pour employer
i=1