Processus de Lévy en Finance - Laboratoire de Probabilités et ...

20 INTRODUCTION EN FRANCAIS
• Si P satisfait une condition de régularité supplémentaire (2.28), alors la solution Q est une
mesure équivalente à P (en général, Q est une mesure martingale, absolument continue
par rapport à P ).
• Les solutions du problème de calibration régularisé sont continues par rapport aux données
de marché: si {C n M } n≥1 est une suite de données telle que ‖C n M − C M‖ w → 0, et pour
chaque n, Q n est la solution du problème de calibration régularisé avec donnée C n M , loi
a priori P et paramètre de régularisation α, alors {Q n } n≥1 a une sous-suite faiblement
convergente, et la limite de chaque sous-suite faiblement convergente de {Q n } n≥1 est la
solution du problème de calibration régularisé avec donnée C M , loi a priori P et paramètre
de régularisation α.
• Lorsque le niveau d’erreur dans les données de marché tend vers 0, si le paramètre de
régularisation α est choisi de façon appropriée, alors les solutions du problème régularisé
convergent vers les solutions au sens de moindres carrés d’entropie minimale (lorsqu’il
existe plusieurs solutions au sens de moindres carrés d’entropie minimale, la convergence
est entendue dans le même sens que ci-dessus).
Le troisième chapitre traite la résolution numérique du problème de calibration régularisé,
construit au chapitre précédent. Tout d’abord, pour se ramener dans un espace fini-dimensionnel,
la mesure de Lévy du processus a priori P est discrétisée sur une grille:
ν P =
M−1
∑
k=0
p k δ {xk }(dx), (2)
ce qui implique que la mesure de Lévy de la solution Q a la même forme:
ν Q =
M−1
∑
k=0
q k δ {xk }(dx).
Ensuite, je démontre que la solution du problème de calibration avec une loi a priori quelconque
peut être approchée avec une précision arbitraire par une suite de solutions avec lois a priori de
la forme (2) (théorème 3.2 et lemme 3.1). Section 3.2 discute le choix du processus a priori et
estime son influence sur la solution, en effectuant des tests numériques. La conclusion de cette
section est que la solution est peu sensible aux petites variations du processus a priori, mais
qu’il est important de spécifier sa forme qualitative correctement.