Probabilidad y Estadística 2

La función de densidad está dada por:
( ) = 1
√
( )
Donde (mu) es la media, (sigma) es la desviación estándar ( es la varianza) y es la variable aleatoria continua
que determina la curva en forma de campana. Así, se dice que una variable sigue una distribución normal con
media y desviación estándar , y se denota como ( ), si su función de densidad está dada por la ecuación
anterior.
Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones
con una forma común, que se diferencian por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más
utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media = y desviación estándar
= 1. Es importante saber que, a partir de cualquier variable que siga una distribución ( ), se puede obtener
otra variable con una distribución normal estándar, efectuando la transformación:
BLOQUE 3
=
entonces la variable aleatoria se dice que se ha estandarizado, de tal modo que la nueva variable aleatoria tendrá
una distribución normal con = y = 1. Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que
para una distribución ( 1) existen tablas a partir de las cuales se puede obtener de modo sencillo la probabilidad
de observar un dato menor o igual a un cierto valor , y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del
comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal,
como se verá en algunos ejemplos más adelante.
Propiedades de la curva normal
Las medidas de tendencia central (media, moda, mediana) son idénticas.
Conforme nos alejamos de la media (centro), la curva decae rápidamente, y después, de manera gradual se
aproxima al eje de las abscisas. Pero de hecho nunca alcanza al eje, por ello, la curva normal es asintótica al
eje de abscisas. No importa que tanto nos alejemos, siempre existe la posibilidad (aunque muy pequeña) de
que tome un valor superior. Por lo tanto, en forma teórica, el rango de la distribución normal es infinito,
.
Es simétrica con respecto a su media. Para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de
observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.
La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación
estándar ( ). Cuanto mayor sea la , más aplanada será la curva de la densidad.
Regla empírica: El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a una
desviación estándar de la media es aproximadamente el 68%, a dos desviaciones estándar el 95%
aproximadamente y a tres desviaciones estándar aproximadamente el 99.7%. En concreto, existe un 95% de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( 1 6 1 6 ). Como lo muestra la
gráfica.
2.3%
34% 34%
13.5% 13.5%
2.3%
µ-3 µ-2 µ-1 µ µ+1 µ+2 µ+3
119