Probabilidad y Estadística 2

toma la esperanza en algunos casos puede no ser "esperado", ya que el valor de la esperanza puede ser improbable
o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando se lanza un dado normal de 6 caras es 3.5; es fácil realizar el cálculo para
comprobar dicha aseveración.
( ) = 1 ( 1
16
) (1)
3 (1)
(1)
(1)
6 (1)
= = 3
6 6 6 6 6 6 6
Observa que no es posible obtener el valor 3.5 en una de las caras del dado al lanzarlo. En este caso, en el que todos
los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética, esto es, es la cantidad total de la
variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
El valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a la frecuencia con que se espera que se presente. En
consecuencia, los valores de la variable que más ocurren tienen asignadas un peso mayor que las que menos
ocurren. Por ejemplo, un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener en la suma de estos un
seis que un siete, ya que hay el mismo número de resultados a favor de una suma que de otra. Cinco y uno, cuatro y
dos, tres y tres, para el seis. Seis y uno, cinco y dos, cuatro y tres, para el siete. ¿Es cierta esta afirmación?
Claro que no, en realidad los sucesos que dan origen a que la suma sea 6 en el lanzamiento de dos dados son:
(1 ) ( ) (3 3) ( ) ( 1) por tanto la probabilidad es , mientras que los sucesos que hacen que la suma sea 7
son (1 6) ( ) (3 ) ( 3) ( ) (6 1) y en consecuencia esta probabilidad es
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. Si de apuestas se trata, resulta
contraproducente apostar a un suceso que tiene menor peso (probabilidad) de ocurrir. Si este experimento se realiza
en repetidas ocasiones, la probabilidad de que la suma sea 7 es mayor que la suma sea 6, por lo que se espera que
el resultado 7 se presente con mayor frecuencia que el resultado 6.
En muchas situaciones, se encuentra que es más conveniente, en términos de los cálculos que se deben hacer,
representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. Al hacer esto, se
puede llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos directamente en una
fórmula algebraica, como se verá más adelante. Formalizando la definición de valor esperado se tiene.
Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) Entonces el valor esperado, esperanza.
o media aritmética de es
= ( ) = ∑ ( ) ,
donde corresponde a los resultados individuales que la variable aleatoria toma. La media aritmética o valor
esperado es una medida de centralización, ya que dentro de la gráfica te indica dónde se están concentrando los
datos de mayor frecuencia.
La distribución de probabilidad para el lanzamiento de dos monedas visto anteriormente, está dada por las primeras
dos columnas de la siguiente tabla. La tercera columna ilustra la esperanza o valor esperado para el experimento,
calculada con la fórmula planteada, es decir, cada valor que toma la variable es multiplicado por su respectiva
probabilidad, y al final sumamos los resultados obtenidos en cada caso, produciendo así = ( )
= ( ) ( )
0 1
0 ( )=0
1
2
1
1
∑ ( ) = 1
1 ( ) = 1
2 ( ) = = 1
= ( ) = 1 1
El hecho de que = ( ) = 1, sugiere que si se lanzan dos monedas el beneficio medio o beneficio esperado a largo
plazo de observar el número de caras es en promedio uno.
= 1
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