Probabilidad y Estadística 2

Como se puede apreciar en la gráfica se ajustan bien ambas funciones. En resumen:
Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que sea grande y no
esté muy próxima a 0 o 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media ( = ) y
desviación estándar o típica ( = √ ) que la distribución binomial. En la práctica se utiliza la aproximación cuando:
3 = =
En cuyo caso, corrigiendo la variable se tiene:
BLOQUE 3
( ) ( = = √ )
Es decir, que si se tiene una variable binomial con parámetros y , con el proceso de corrección anterior, esta
variable se aproxima a una normal con parámetros = = √ .
Y estandarizando la variable se obtiene la normal estándar correspondiente:
Teorema central del límite.
=
√
La distribución binomial ( ) se aproxima a una curva normal de media = y desviación estándar o típica
= √ , cuando se hace exageradamente grande, es decir, tiende a infinito. La aproximación se puede aplicar (y
es una buena aproximación) sólo si es grande, (en concreto 3 ). Además y . Si no se cumplen
estas condiciones NO se puede aproximar la binomial que se tenga por una distribución normal.
En caso de que se pueda aproximar, se debe tener en cuenta que se está pasando de una variable discreta (binomial)
a una continua (normal), y por tanto son distribuciones diferentes. El “precio” que hay que pagar por pasar de una a
otra se denomina “corrección por continuidad” y consiste en hacer determinados ajustes para que la aproximación
realizada sea lo más precisa posible.
Así, si se pide la probabilidad ( = ) en una distribución binomial , y se aproxima por una distribución normal
, no se puede calcular directamente la probabilidad de esta nueva variable ( = ) porque, como ya se ha
comentado anteriormente, en una distribución continua todas estas probabilidades valen 0. La corrección por
continuidad consiste en tomar un pequeño intervalo de longitud 1 alrededor del punto .
( 1)
Así, si se pide ( = ) con binomial, con la aproximación normal , se debe calcular:
( )
Del mismo modo se razona en el caso de probabilidades acumuladas en la binomial. Algunos ejemplos: Si se pide
( ) con binomial, aproximando por normal se calcula ( ) La explicación de que haya que
restar 0.5 y no sumarlo es que se quiere que sea menor estrictamente que , con lo cual, si se sumara 0.5, el propio
aparecería en la probabilidad a calcular y NO debe aparecer.
Por otro lado, si se debiera calcular ( ), con binomial, fíjate que ahora sí está incluido en la probabilidad y
por tanto al aproximar por la normal se debe calcular ( )
Comprender estos dos hechos es fundamental para realizar bien la corrección por continuidad al aproximar una
distribución binomial por una normal. Aunque en realidad esta aproximación no da resultados muy precisos a menos
que realmente sea un valor muy grande o Para entender mejor, se ilustra una comparación entre la
función de densidad de una variable aleatoria continua con distribución ( ) y el diagrama de barras de una
variable aleatoria discreta de distribución ( ) para casos en que la aproximación normal de la binomial es válida.
La primera de ellas es una binomial con parámetros = 1 y = 1 .
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