Probabilidad y Estadística 2

Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) y con media = ( ) se define la
varianza, (que suele representarse con el símbolo ) como una medida de su dispersión definida como la esperanza
del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.
= [( ) ]
Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición y equivalente:
= [ ]
Por propiedades de la Esperanza se tiene,
= ( ) ( ) ]
Pero como = ( )
= ( ) ]
= ( )
Si la variable aleatoria es discreta con probabilidades entonces:
Donde:
94
= ∑ ( ) ( )
= ( ) = ∑ ( )
La varianza está medida en unidades distintas de las de la variable, por ser la
esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su
media; las unidades de la varianza están expresadas al cuadrado. Por
ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en
metros al cuadrado; por lo que resulta poco conveniente de usar. En cambio
si se considera la desviación estándar de , que se denota por , definida
como la raíz cuadrada positiva de la varianza de , es una medida de
dispersión alternativa expresada en las mismas unidades que la variable
aleatoria, y mide la distancia a la que se encuentran los datos con respecto a la media.
Continuando con el experimento del lanzamiento de dos monedas, el cálculo de la varianza para este caso, queda
expresado en la cuarta columna de la siguiente tabla.
= ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
0 =0
( 1) 1 1
=
1
2
1
1
∑ ( ) = 1 = ( ) = 1
2
1
=
=
=
1
= 1
= 1
(1 1) 1
=
( 1) 1
RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
1
=
1
=
1
= =
La desviación estándar para este caso es la raíz cuadrada del valor obtenido en la varianza; es decir,
= √ = √ = 1
Ejemplo 2. Se lanza un par de dados sin truco, y se desea observar la variable de interés : la suma de los puntos de
las caras superiores.
a) Obtener la distribución de probabilidad para
b) Construir una gráfica para la distribución de probabilidad.
c) Calcular la esperanza, varianza y desviación estándar de