Probabilidad y Estadística 2

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dentprob.html
Distribución binomial.
Supóngase que la flecha de la figura se gira dos veces y que se está interesado en el número de veces que se
obtiene el 2. (Imagina que cada una de las regiones contiene un arco de 120º, por lo que cada
uno es igualmente probable). Se puede pensar en el caso que caiga dos como un “éxito”,
mientras que en el caso que caiga uno y tres serían “fracasos”. Cuando los resultados de un
experimento se dividen en dos categorías, éxito y fracaso, la distribución de probabilidades se
conoce como “binomial” (el prefijo bi significa dos). Las realizaciones repetidas de un
experimento de estas características, en que la probabilidad de éxito permanece constante en
todas las repeticiones, se conocen también como ensayos de Bernoulli repetidos (en honor a su
creador Jakob Bernoulli).
Si representa el número de 2 (doses) obtenidos después de dos giros, entonces es una variable aleatoria y se
puede construir su distribución de probabilidad. Durante el experimento de girar dos veces la flecha, podría tomar
los valores 0, 1 o 2, esto es, que en el par de giros no se obtenga ningún dos, que se obtenga 1 o que se obtengan 2
doses, respectivamente. El espacio muestral de resultados (igualmente probables) de la ruleta para los dos giros:
BLOQUE 3
= {(1 1) (1 ) (1 3) ( 1) ( ) ( 3) (3 1) (3 ) (3 3)}
En cada uno de estos pares ordenados, el primer y segundo números hacen referencia al primer giro y segundo giro,
respectivamente. Observa que de los nueve resultados que son, en 4 de ellos no se obtuvo ningún 2, en 4 de ellos se
obtuvieron sólo un 2, y sólo en uno de ellos se obtuvieron 2 doses. Entonces la distribución de probabilidad para dos
giros se expresa en la siguiente tabla.
( ) 1
(1 ) ( 1) ( 3) (3 ) 1
(1 1) (1 3) (3 1) (3 3)
∑ ( ) =
En este ejemplo se tiene un caso de una distribución de probabilidad binomial. Observa que la suma de
probabilidades es uno y que cada una de las probabilidades son positivas y menores que uno, lo cual concuerda con
la propiedad 3 de la probabilidad vistas en el segundo bloque, debido a que todos los posibles valores de han sido
listados.
Con la finalidad de desarrollar una fórmula general para la probabilidad binomial, se puede considerar otra forma de
obtener las probabilidades de la tabla anterior. Los diferentes giros de la flecha son independientes entre sí y en cada
giro la probabilidad de éxito, es decir, que caiga un dos (que denotaremos con la letra ) es de 1 3 , mientras que la
de fracaso ( ) es 3.
Se denotará éxito en el primer giro como , fracaso en el segundo como , y así
sucesivamente. Entonces aplicando las reglas de la probabilidad, se tiene lo siguiente.
Que en los dos giros la flecha no haya caído en dos, significa que ambos sean fracasos.
( = ) = ( )
( )
= 1
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