Probabilidad y Estadística 2

Aproximación de la distribución binomial a la normal.
En las secuencias anteriores se han estudiado ya las distribuciones binomial con parámetros y , ( ) para el caso
discreto y la normal con parámetros y , ( )para el caso continuo.
Para ciertos valores de y , la distribución binomial tiene un extraordinario parecido con la correspondiente distribución
normal. Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que el número de
ensayos o repeticiones , sea grande y la probabilidad de éxito no esté muy próxima a 0 o a 1. La aproximación
consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación estándar o típica que la distribución binomial.
Cuando el valor de es grande; la distribución binomial resulta muy laboriosa y complicada, por lo que el
matemático Abraham de Moivre (1667-1754), demostró que cuando se dan ciertas condiciones una
distribución binomial se puede aproximar a una distribución normal de media = y desviación
estándar de = √ , es decir, ( ) ( = = √ ).
En el siguiente gráfico se representa una serie de distribuciones binomiales para variables que se
nombrarán para distintos valores de y un valor constante de = 3
Observa cómo efectivamente entre mayor sea el valor de , mejora el parecido de las gráficas de barras de las
distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la distribución normal estándar (continua), pero con el
inconveniente de que se produce un desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a medida que
aumenta . Lo que se quiere, entonces, es aproximar estas distribuciones a una distribución normal estándar, es
decir, se va a estandarizar la variable.
Este inconveniente se evita corrigiendo la variable aleatoria , restando la media de la binomial ( ) (para corregir el
desplazamiento) y dividiendo por la desviación estándar o típica de la binomial (√ ) (para ajustar la dispersión).
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