Probabilidad y Estadística 2

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Conteo mediante una lista sistemática. 30 Desarrollo En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria, que puede definirse como la parte de la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en que pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se toman todos o algunos de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, objetos, empresas, artículos producidos por una fábrica, entre otros. La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo de composición de los elementos, teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. Para ello, distingue básicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones y Combinaciones. Para calcular probabilidades, es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado, o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa, sin embargo, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria. Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas. Cuando se listan todos los posibles resultados, es muy importante emplear un método sistemático. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo, es muy probable que se te olvide nombrar algunas. Ejemplo 1. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{ }. Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito, luego elegir el segundo. Los resultados pueden representarse en una tabla de la siguiente manera: 1er. dígito 2do. dígito 1 3 5 7 1 11 13 15 17 3 31 33 35 37 5 51 53 55 57 7 71 73 75 77 Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11,13, 15, 17, 31, 33, 35,37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77. Existen 16 posibilidades. Como ves, sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos. Cuando una tarea consta de más de dos etapas, no es fácil analizarla mediante una tabla, ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones, que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 2. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatro conmutadores en hilera. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse, si ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado al mismo tiempo? DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO
Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos, como son los equipos de computación, los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. En el diagrama de árbol se representa el “encendido” con el número 1, y “apagado” con el 0 (una práctica común). Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol, el siguiente conmutador sólo puede estar encendido (1). Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. Por tanto, son 8 las configuraciones diferentes que pueden seleccionarse. Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad, y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. A su vez, cada una puede ser de 1, 2 o 3 dormitorios. ¿Cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición? El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados. Existen dos etapas para esta tarea; se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones para la segunda (número de dormitorios). Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición. Ejemplo 4. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? BLOQUE 1 1er. Conmutador 0 1 1 Casa 2do. Conmutador 0 1 Apartamento G H A I 3er. Conmutador F B 0 1 1 0 1 E D C 4to. Configuración Conmutador de los 1 Dormitorio 2 Dormitorios 3 Dormitorios 1 Dormitorio 2 Dormitorios 1 0 1 0 1 1 0 1 3 Dormitorios conmutadores 0101 0110 0111 1010 1011 1101 1110 1111 31
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