`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

110 - Exercicis i problemes. § 14.demostrar-ho, fer servir que l’aplicació f 1 és lineal i que coneixem una base de l’espai. Concretament,fer servir el següent resultat: com que {x n } n≥0 és una base de R[x], i com que f 1 éslineal, aleshores el conjunt {f 1 (x n )} n≥0 és un sistema de generadors del subespai imatge Im f 1 .Si ho fem en el nostre cas es té que:com volíem demostrar.Im f 1 = ⟨f 1 (1), f 1 (x), f 1 (x 2 ), . . . , f 1 (x n ), f 1 (x n+1 ), . . . ⟩= ⟨0, 1, 2x, . . . , nx n−1 , (n + 1)x n , . . . ⟩= ⟨1, 2x, . . . , nx n−1 , (n + 1)x n , . . . ⟩= ⟨1, x, . . . , x n−1 , x n , . . . ⟩= R[x]- Vegem a continuació que f 1 no és un endomorfisme injectiu (no és un monomorfisme).Hi ha diferents maneres de veure si una aplicació és o no és injectiva. Una d’elles és fer servirla definició d’injectivitat. Si volem pensar-ho d’aquesta manera aleshores, per veure que f 1 noés injectiva hem de trobar dos polinomis diferents p, q ∈ R[x] tals que f 1 (p) = f 1 (q), és a dirdos polinomis diferents tals que tenen la mateixa imatge, en aquest cas, que tenen la mateixaderivada. Aquí, per exemple, els polinomis p = x i q = 1 + x ho verifiquen i, per tant, f 1 no ésinjectiva.Una manera diferent de veure si l’aplicació f 1 no és injectiva és fer servir que aquesta aplicacióés lineal i que, per tant, podem aplicar la següent caracterització d’injectivitat de les aplicacionslineals: una aplicació lineal h : E 1 → E 2 és injectiva si i només si el seu nucli Ker h és nul,(recordeu que si h és lineal aleshores es té que h(0) = 0). Per tant, per estudiar la injectivitathem de calcular el nucli de l’aplicació lineal. En el nostre cas, si p ∈ R[x] és el polinomi:aleshores:d’on es té que:p =n∑a i x ii=0( n) ′∑f 1 (p) = p ′ = a i x i =f 1 (p) = 0 ⇔i per tant el nucli de f 1 és:i=0n∑ia i x i−1 = 0i=1n∑a i (x i ) ′ =i=0n∑ia i x i−1i=0⇔ ia i = 0 per a 0 ≤ i ≤ n ⇔ a i = 0 per a 1 ≤ i ≤ n⇔ p = a 0⇔ p és un polinomi constantKer f 1 = {p ∈ R[x] : f 1 (p) = 0}= {p ∈ R[x] : p és un polinomi constant}= ⟨1⟩que és un subespai vectorial no nul de dimensió 1 (una base del nucli és el polinomi constantp = 1). En particular, com que Ker f 1 ≠ {0}, aleshores f 1 no és injectiva.