`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

54 - Exercicis i problemes. § 5.Pel que fa als subespais suma tenim:F + G 1 = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)⟩ = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)⟩ = R 3F + G 2 = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)⟩ = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)⟩ = R 3és a dir, F + G 1 = F + G 2 = E.En canvi, quan calculem les interseccions obtenim:que, clarament, no són iguals.F ∩ G 1 = ⟨(1, 0, 0)⟩ = {(x, y, z) ∈ R 3 : y = z = 0}F ∩ G 2 = ⟨(0, 1, 0)⟩ = {(x, y, z) ∈ R 3 : x = z = 0}Per tant, tenim tres subespais F, G 1 , G 2 tals que F + G 1 = F + G 2 , però F ∩ G 1 ≠ F ∩ G 2 .Geomètricament la intersecció F ∩ G 1 és l’eix OX, i la intersecció F ∩ G 2 és l’eix OY . La ideageomètrica queda més ben reflectida en el següent dibuix:zG 1G 2F ∩G 2yFF ∩G 1x- Vegem ara que la igualtat en la intersecció no implica la igualtat en la suma.Prenem els subespais vectorials:F = ⟨(1, 0, 0)⟩ = {(x, y, z) ∈ R 3 : y = z = 0}G 1 = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0)⟩ = {(x, y, z) ∈ R 3 : z = 0}G 2 = ⟨(1, 0, 0), (0, 0, 1)⟩ = {(x, y, z) ∈ R 3 : y = 0}Geomètricament el subespai F és la recta de l’eix OX, el subespai G 1 és el pla XY ({z = 0}), iel subespai G 2 és el pla XZ ({y = 0}). Observem, novament, que dim G 1 = dim G 2 = 2.Si calculem els subespais suma F + G 1 i F + G 2 , com que F està inclòs en tots dos es té que:F + G 1 = ⟨(1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)⟩ = ⟨(1, 0, 0), (0, 1, 0)⟩ = G 1F + G 2 = ⟨(1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)⟩ = ⟨(1, 0, 0), (0, 0, 1)⟩ = G 2Així doncs tenim F + G 1 = G 1 ≠ G 2 = F + G 2 .