`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 27. Solucions i resolucions comentades - 209diu que si h és un endomorfisme d’un K-espai vectorial no nul E de dimensió finita n i si p h (x)és el polinomi característic de h, aleshores la descomposició factorialp h (x) = (−1) n p n11 · . . . · pn rrdel polinomi p h (x) en K[x], ens proporciona la següent descomposició de l’espai vectorial E comsuma directa de subespais invariants per hA més, els subespais Ker p n11E = Ker p n11 (h) ⊕ · · · ⊕ Ker pn rr (h).(h), . . . , Ker pnr r (h) són no nuls, i tenen dimensiódim Ker p n ii (h) = n i deg p i .- Així, si h és un endomorfisme de R 3 , el seu polinomi característic p h (x) és un polinomi de grau3 i, per tant, descompon en factors irreductibles a R[x] d’una de les següents maneres:o bé p h (x) = −(x − λ) 3 ,o bé p h (x) = −(x − λ 1 )(x − λ 2 ) 2 amb λ 1 ≠ λ 2 ,o bé p h (x) = −(x − λ)(x 2 + αx + β) amb α 2 < 4β,o bé p h (x) = −(x − λ 1 )(x − λ 2 )(x − λ 3 ) amb λ i ≠ λ j si i ≠ j.Per tant, si estem en la segona o en la tercera situació aleshores, aplicant el primer teorema dedescomposició, tindrem que l’espai R 3 descompondrà com suma directa d’un subespai invariantde dimensió u i d’un de dimensió dos 39 40 . Així, per resoldre aquest apartat el primer queanem a fer és veure que el polinomi característic de l’endomorfisme f que ens donen està en unad’aquestes dues situacions.- Començarem, doncs, per calcular el polinomi característic de l’endomorfisme f. Sigui B e ={e 1 , e 2 , e 3 } la base canònica de R 3 . Aleshores, tenim:f(e 1 ) = f(1, 0, 0) = (0, −1, 1),f(e 2 ) = f(0, 1, 0) = (1, −1, 1),f(e 3 ) = f(0, 0, 1) = (1, −1, 0),i, per tant, la matriu associada a f en la base B e és:⎛⎞M f = −1 −1 −1 ⎠ .⎝ 0 1 11 1 0Aleshores, com que el polinomi característic de l’endomorfisme f coincideix amb el polinomi39 Recordeu que poden existir subespais invariants F per un endomorfisme h que no són del tipus Ker q(h) pera cap polinomi q. Per tant, en principi, el primer teorema de descomposició ens presenta una situació en la qualpodem descompondre l’espai com suma directa d’un subespai invariant de dimensió u i d’un de dimensió dos. De fetes pot demostrar que si h és un endomorfisme de R 3 aleshores, existeixen F 1 , F 2 ⊆ R 3 subespais complementaris iinvariants per h amb dim F 1 = 1 si i només si o bé p h (x) ≠ −(x−λ) 3 o bé p h (x) = −(x−λ) 3 i dim Ker(h−λ Id) ≠ 1.Deixem com a exercici al lector la demostració d’aquest resultat.40 Observeu que els subespais vectorials invariants de dimensió 1 d’un endomorfisme són exactament els subespaisgenerats per un vector propi de l’endomorfisme. És a dir, si h és un endomorfisme d’un espai vectorial E, aleshoresun subespai F de dimensió dim F = 1 és invariant per h si i només si F = ⟨v⟩ amb v vector propi de h.