`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 16. Solucions i resolucions comentades - 121h(F 1 ) ⊆ F 2 . A més, en aquest cas, ˜h també és K-lineal.- Així hem de demostrar, per tant, que f(F ) ⊆ F i, per a això, únicament cal demostrar que elsgeneradors del subespai vectorial f(F ) estan en F .Un sistema de generadors del subespai vectorial f(F ) s’obté fent la imatge per f d’un sistemade generadors de F . Així, per calcular-ne un, primer hem de calcular un sistema de generadorsdel subespai F .El subespai F = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y + z = z − t = 0} té dimensió 2, ja que les dues equacionsque el defineixen són linealment independents (això es pot veure a simple vista, perquè en unano hi tenim cap terme amb t, mentre que en la segona sí). A més tenim:F = {(x, y, z, t) ∈ R 4 : x + y + z = z − t = 0}= {(x, −x − z, z, z) ∈ R 4 on x, z ∈ R}= ⟨(1, −1, 0, 0), (0, −1, 1, 1)⟩i, per tant, els vectors (1, −1, 0, 0) i (0, −1, 1, 1) ens determinen una base de F . Ara, aplicant f aaquests dos vectors obtindrem un sistema de generadors de f(F ). Recordem que l’endomorfismef : R 4 → R 4 està definit per f(x, y, z, t) = (−x + 2y − t, x − y + z, x + t, −y + z − t). Per tant:f(F ) = ⟨f(1, −1, 0, 0), f(0, −1, 1, 1)⟩= ⟨(−3, 2, 1, 1), (−3, 2, 1, 1)⟩= ⟨(−3, 2, 1, 1)⟩.Finalment, com hem dit abans, per veure la inclusió f(F ) ⊆ F n’hi ha prou amb comprovarque els generadors del subespai f(F ) estan en F . És a dir, en aquest cas, únicament hem deveure que (−3, 2, 1, 1) ∈ F i, com que el subespai F està donat per equacions, només cal quecomprovem que aquest vector les satisfà. Calculant tenim:x + y + z = −3 + 2 + 1 = 0z − t = 1 − 1 = 0Per tant (−3, 2, 1, 1) ∈ F , i es compleix, doncs, que f(F ) ⊆ F .- Amb això hem demostrat que l’aplicació ˜f : R 4 /F → R 4 /F induïda per l’endomorfisme f de R 4en el quocient R 4 /F és una aplicació ben definida.- Ara anem a demostrar que ˜f és lineal.És a dir hem de veure que, per a qualsevol parella de vectors [v 1 ], [v 2 ] ∈ R 4 /F i per a qualsevolparella d’escalars λ 1 , λ 2 ∈ R, es té que:˜f(λ 1 [v 1 ] + λ 2 [v 2 ]) = λ 1 ˜f([v1 ]) + λ 2 ˜f([v2 ])).La demostració és la mateixa que s’ha fet a teoria per demostrar la proposició que hem recordatabans. Anem a repetir-la.Prenem, doncs, dos vectors de l’espai quocient [v 1 ], [v 2 ] ∈ R 4 /F i dos escalars λ 1 , λ 2 ∈ R.Aleshores tenim la següent cadena d’igualtats: