`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

194 - Exercicis i problemes. § 23.subespais vectorials F 1 ⊆ E 1 i F 2 ⊆ E 2 , la condició necessària i suficient per tal que existeixiuna aplicació lineal induïda ben definida˜f : E 1 /F 1 −→ E 2 /F 2[u] ↦−→ ˜f([u]) = [f(u)]és que f(F 1 ) ⊆ F 2 .l’observació anterior.L’argument per justificar-ho és el mateix que acabem de fer servir en- Tornem a la resolució del nostre problema.- Un cop sabem que ˜f és un endomorfisme ben definit, hem de comprovar que aquest endomorfismeés diagonalitzable.- Fixem-nos que, si només ens demanessin això, hauríem de buscar una base B q de l’espai vectorialR 4 /F , calcular la matriu M( ˜f; B q ) associada a l’endomorfisme ˜f en aquesta base, determinarel polinomi característic, calcular-ne els valors propis i aplicar el teorema de diagonalitzacióa l’endomorfisme ˜f de l’espai vectorial R 4 /F . Tanmateix, en aquest cas no ens cal fer totaixò, ja que també ens demanen comprovar que els vectors [v 3 ] i [v 4 ] són una base de R 4 /Fformada per vectors propis de ˜f. Per tant, procedirem de manera alternativa. En primerlloc, comprovarem que [v 3 ] i [v 4 ] són, en efecte, vectors propis de ˜f. Tot seguit, i només si ésnecessari 34 , comprovarem que [v 3 ] i [v 4 ] són linealment independents. Un cop hàgim comprovataixò, ˜f serà diagonalitzable pel teorema de diagonalització, ja que R 4 /F tindrà una base devectors propis.- Comencem, doncs, per comprovar que els vectors [v 3 ] i [v 4 ] són vectors propis de ˜f. Com enl’apartat anterior, ho veurem aplicant ˜f a ambdós vectors. Fent-ho, tenim˜f([v 3 ]) = [f(v 3 )] = [v 1 + v 3 ] = [v 1 ] + [v 3 ] = [v 3 ]˜f([v 4 ]) = [f(v 4 )] = [2v 4 ] = 2[v 4 ]on hem aprofitat els càlculs que hem fet en l’apartat anterior i en la igualtat [v 1 ] + [v 3 ] = [v 3 ]hem usat que [v 1 ] = [0] perquè v 1 ∈ F .- Per tant, en deduïm que [v 3 ] és un vector propi de valor propi 1, i que [v 4 ] és un vector propide valor propi 2. Això ens dóna, sense cap argument addicional, que els vectors [v 3 ] i [v 4 ] sónlinealment independents per ser vectors propis de valors propis diferents.- Per tant, com que R 4 /F té dimensió 2 (ja que dim R 4 /F = dim R 4 − dim F = 4 − 2 = 2), endeduïm que [v 3 ] i [v 4 ] formen una base de R 4 /F . D’on, aplicant el teorema de diagonalització(veure pàgina 148), tenim que ˜f és un endomorfisme diagonalitzable de R 4 /F .34 Recordem que dos vectors propis de valors propis diferents sempre són linealment independents. Per tant, si [v 3 ]i [v 4 ] són vectors propis de valors propis diferents tindrem, automàticament, la independència lineal sense necessitatde fer cap càlcul addicional.