`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 7. Solucions i resolucions comentades - 63- 7.En R 6 , agafem sis vectors v 1 , . . . , v 6 linealment independents i considerem els subespais F =⟨v 1 , v 2 ⟩, G = ⟨v 3 , v 4 , v 5 ⟩, H = ⟨v 6 , v 1 + v 3 + v 6 ⟩. Calculeu la dimensió i una base dels subespais(F + G)/H, (F/H) + (G/H), (F ∩ G)/H i (F/H) ∩ (G/H) de l’espai quocient R 6 /H. Són Fi G subespais complementaris? Són F/H i G/H subespais complementaris?SolucióLes dimensions valen dim(F + G)/H = dim((F/H) + (G/H)) = 4, dim(F ∩ G)/H = 0, idim((F/H) ∩ (G/H)) = 1. El conjunt {[v 1 ], [v 2 ], [v 4 ], [v 5 ]} és una base del subespai vectorial(F + G)/H = (F/H) + (G/H) = R 6 /H, i el conjunt {[v 3 ]} és una base de (F/H) ∩ (G/H).Els subespais F i G no són complementaris ja que R 6 ≠ F + G. Els subespais F/H i G/H nosón complementaris ja que (F/H) ∩ (G/H) ≠ {[0]}.Resolució- Observem en primer lloc que com que els vectors v 1 , . . . , v 6 són linealment independents en R 6també en són una base. D’altra banda recordem que donats n vectors linealment independents,qualsevol tria de r ≤ n vectors d’aquesta col·lecció també són linealment independents. D’aquíes dedueix que:dim F = dim⟨v 1 , v 2 ⟩ = 2dim G = dim⟨v 3 , v 4 , v 5 ⟩ = 3i, a més, tenim que:dim H = dim⟨v 6 , v 1 + v 3 + v 6 ⟩ = 2.Això últim es pot comprovar fàcilment prenent les coordenades de v 6 i v 1 + v 3 + v 6 en la base{v 1 , . . . , v 6 } de R 6 (que són v 6 = (0, 0, 0, 0, 0, 1) i v 1 + v 3 + v 6 = (1, 0, 1, 0, 0, 1)), i calculant elrang de la matriu (v 6 | v 1 + v 3 + v 6 ) dels “vectors en columna”.- També és interessant observar el següent fet que farem servir més endavant. Com que v 6 és unelement de H, aleshores es té:v 1 + v 3 = (v 1 + v 3 + v 6 ) − v 6 ∈ ⟨v 6 , v 1 + v 3 + v 6 ⟩v 1 + v 3 + v 6 = (v 1 + v 3 ) + v 6 ∈ ⟨v 6 , v 1 + v 3 ⟩i per tant H = ⟨v 6 , v 1 + v 3 + v 6 ⟩ = ⟨v 6 , v 1 + v 3 ⟩.- Per calcular les dimensions i les bases dels subespais vectorials que ens demanen, usarem elssegüents resultats vists a classe de teoria: