`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 3. Solucions i resolucions comentades - 31Observem que, d’una manera “informal”, la matriu A es pot pensar com “la matriu dels vectorsposats en columna”, és a dir, es pot pensar com:“A =⎛v 1 . . . v j . . . v r⎝ ↑ ↑ ↑↓ ↓ ↓⎞⎠ = (v 1 | . . . | v j | . . . |v r ) ”.- Amb aquesta matriu podem caracteritzar les nocions anteriors. Concretament es té que:1. Sistema de generadors.Per definició, el conjunt {v 1 , . . . , v r } és un sistema de generadors de E si i només si tot elementu de E es pot expressar com combinació lineal de v 1 , . . . , v r . És a dir, si i només si per a totvector u ∈ E existeixen escalars λ 1 , . . . , λ r ∈ K tals que u = λ 1 v 1 + . . . + λ r v r .Matricialment aquesta noció es pot caracteritzar de la manera següent: el conjunt {v 1 , . . . , v r }genera E si i només si el sistema d’equacions lineals⎛⎜A ⎝x 1. .x r⎞⎛⎟ ⎜⎠ = ⎝µ 1⎞. ⎟⎠és un sistema compatible per a tot µ 1 , . . . , µ n ∈ K. (Observis que la relació que hi ha entreles dues caracteritzacions de sistema de generadors és la següent: u = (µ 1 , . . . , µ n ) B i λ i = x iper a 1 ≤ i ≤ r).Per tant es té que, el conjunt {v 1 , . . . , v r } genera E si i només si la matriu A té rang n.2. Independència lineal.Per definició, el conjunt {v 1 , . . . , v r } és un conjunt de vectors linealment independents si inomés si l’equació λ 1 v 1 + . . . + λ r v r = 0 té com única solució λ 1 = . . . = λ r = 0.Matricialment aquesta noció es pot caracteritzar de la manera següent: el conjunt {v 1 , . . . , v r }és un conjunt de vectors linealment independents si i només si el sistema d’equacions linealshomogeni⎛⎜A ⎝x 1. .x r⎞⎟⎠ =és un sistema compatible determinat. (Com hem comentat en la pàgina 21, això és equivalenta demanar que l’única solució sigui x 1 = · · · = x r = 0).Per tant es té que, el conjunt {v 1 , . . . , v r } és un conjunt de vectors linealment independentssi i només si la matriu A té rang r.⎛⎜⎝0.0⎞⎟⎠3. Base.Si r = n aleshores, per definició, el conjunt {v 1 , . . . , v n } és una base de l’espai vectorial Esi i només si tot element u de E es pot expressar, de manera única, com combinació linealde v 1 , . . . , v n . És a dir, si i només si per a tot vector u ∈ E existeixen uns únics escalarsλ 1 , . . . , λ n ∈ K tals que u = λ 1 v 1 + . . . + λ n v n .