`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

88 - Exercicis i problemes. § 11.Notem que les tres relacions que tenim són la mateixa, d’on es dedueix:f −1 (f(F )) = { (x, y, z, t) ∈ R 4 : 2x + y − z − t = 0 }que té dimensió 3.- Per calcular-ne una base, sigui v ∈ f −1 (f(F )). Aleshores:v = (x, y, z, t) = (x, y, z, 2x + y − z) = x(1, 0, 0, 2) + y(0, 1, 0, 1) + z(0, 0, 1, −1)i per tant f −1 (f(F )) = ⟨(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, −1)⟩.- Observem que(1, 0, 1, 1) = (1, 0, 0, 2) + (0, 0, 1, −1) ∈ f −1 (f(F ))(0, 1, 1, 0) = (0, 1, 0, 1) + (0, 0, 1, −1) ∈ f −1 (f(F ))de manera que F ⊆ f −1 (f(F )), però com que dim F = 2 < 3 = dim f −1 (f(F )), la inclusió ésestricta, és a dir, F f −1 (f(F )). Alternativament, també podríem comprovar que els generadorsde F satisfan les equacions que defineixen f −1 (f(F )), obtenint el mateix resultat.- Conclusions. Observem que en aquest problema hem vist que:dim f(F ) < dim F < dim f −1 (F )i també hem vist que:dim f(f −1 (F )) < dim F < dim f −1 (f(F )).La lectura que podem fer de la primera desigualtat de la primera cadena de desigualtats és lasegüent: una aplicació lineal pot reduir la dimensió de l’espai, però en cap cas pot augmentar-la.Intuïtivament això és clar: una aplicació no “treu vectors del no res”, és a dir, tot vector en laimatge prové d’algun vector en l’espai de sortida i, per tant, com a molt se’n poden tenir tantscom n’hi ha en l’espai de sortida. Observem que sempre ens restringim a la imatge de l’aplicació,ja que hi poden haver vectors en l’espai d’arribada que no siguin imatge de cap vector, és a dir,l’aplicació no és necessàriament exhaustiva.Pel que fa a la segona cadena de desigualtats, aquesta ens dóna un exemple clar d’una propietatben coneguda en conjunts. Una aplicació h: X → X d’un conjunt X en si mateix, nonecessàriament lineal, sempre compleix h(h −1 (A)) ⊆ A ⊆ h −1 (h(A)) per a tot A ⊆ X, peròaquestes inclusions no sempre són igualtats. La injectivitat i l’exhaustivitat de l’aplicació sóncondicions que permeten convertir aquestes inclusions en igualtats.