`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 24. Solucions i resolucions comentades - 195- 24.( 65 33Determineu B ∈ M 2 (R) tal que B 5 =−66 −34).Solució( 5 3B =−6 −4).Resolució- La manera més elemental i directa d’atacar aquest problema seria prendre una matriu arbitràriaB ∈ M 2 (R) donada per( ) a bB = ,c dfer el càlcul llarg i tediós de la matriu B 5 , i imposar la igualtat amb la matriu que ens donen enl’enunciat. D’aquesta manera, de l’equació matricialc( a b) 5=d−66( 65 33)−34obtenim el sistema de quatre equacions amb quatre incògnites:⎧⎪⎨⎪⎩a 5 + 4 bca 3 + 3 c 2 ab 2 + 3 bdca 2 + 2 bd 2 ca + 2 dc 2 b 2 + bd 3 c = 65ba 4 + 3 a 2 b 2 c + b 3 c 2 + 4 ab 2 dc + 3 b 2 d 2 c + da 3 b + a 2 bd 2 + abd 3 + bd 4 = 33ca 4 + 3 c 2 a 2 b + dca 3 + 4 adc 2 b + d 2 ca 2 + ad 3 c + 3 bd 2 c 2 + b 2 c 3 + cd 4 = −66bca 3 + 2 c 2 ab 2 + 2 bdca 2 + 3 dc 2 b 2 + 3 bd 2 ca + 4 bd 3 c + d 5 = −34- Tanmateix, el sistema de quatre equacions per a a, b, c, d que hem obtingut en fer aquest càlculno és un sistema d’equacions lineal, de manera que els diferents mètodes de resolució de sistemesque hem vist fins ara no ens serveixen en aquest cas. En general, la resolució d’un sistemad’equacions no lineals no és gens trivial i, de fet, tampoc tenim garantit que el sistema tinguisolució o, en el cas en què en tingui, en principi no podem dir res sobre quantes solucions té.- Així, doncs, és convenient canviar el nostre enfocament del problema i buscar algun mètodealternatiu per resoldre’l.- Una propietat important i molt útil de les matrius diagonals que convé recordar en aquestmoment és que, si