`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

More documents

Recommendations

Info

$Some fractional functional inequalities - UPC$

66 - <strong>Exercicis</strong> i <strong>problemes</strong>. § 7.Ara bé, recordem que en l’espai quocient hi tenim dues relacions: [v 6 ] = [0] i [v 1 ] = −[v 3 ]. Pertant, podem eliminar [v 3 ] o [v 1 ] del sistema de generadors i ens queda, respectivament:(F/H) + (G/H) = ⟨[v 1 ], [v 2 ], [v 4 ], [v 5 ]⟩ = ⟨[v 2 ], [v 3 ], [v 4 ], [v 5 ]⟩ = R 6 /H.Amb això hem obtingut un sistema de quatre generadors linealment independents, ja que sónbase de R 6 /H. Per tant, hem trobat una base de (F/H) + (G/H), i en podem deduir quedim((F/H) + (G/H)) = 4. En conseqüència, dim((F/H) ∩ (G/H)) = 1, i una base és {[v 3 ]} o{[v 1 ]} de manera que ens queda:(F/H) ∩ (G/H) = ⟨[v 1 ]⟩ = ⟨[v 3 ]⟩.- Passem ara a les dues últimes preguntes de l’enunciat.- Són F i G subespais complementaris?Els subespais vectorial F i G no són subespais complementaris de R 6 perquè dim(F + G) = 5
§ 8. Solucions i resolucions comentades - 67- 8.Considerem les famílies de vectors B 1 = {(1, −1, 0), (2, 1, 3)} i B 2 = {(1, 5, 6), (1, 2, 3)} de R 3 .(a) Demostreu que el subespai vectorial generat per la família de vectors B 1 coincideix ambel subespai vectorial que genera la família B 2 . Notem per F aquest subespai.(b) Trobeu, en l’espai vectorial F , la matriu de canvi de base de la base B 1 a la base B 2 .Determineu les coordenades de (−5, −7, −12) ∈ F en la base B 1 i en la base B 2 .(c) Sigui H ⊆ R 3 un subespai complementari de F . Demostreu que els conjunts [B 1 ] ={[(1, −1, 0)], [(2, 1, 3)]} i [B 2 ] = {[(1, 5, 6)], [(1, 2, 3)]} són dos bases de R 3 /H.(d) Trobeu, en l’espai R 3 /H, la matriu de canvi de base de la base [B 1 ] a la base [B 2 ].Determineu les coordenades de [(−5, −7, −12)] ∈ R 3 /H en la base [B 1 ] i en la base [B 2 ].Solució(a) —( ) −1 −1(b) M(B 1 → B 2 ) =.2 3Coordenades: (−5, −7, −12) = (3, −4) B1 = (1, −6) B2 .(c) —( ) −1 −1(d) M([B 1 ] → [B 2 ]) =.2 3Coordenades: [(−5, −7, −12)] = (3, −4) [B1 ] = (1, −6) [B2 ].Resolució (a)- Al llarg de tot l’exercici denotarem u 1 = (1, −1, 0), u 2 = (2, 1, 3), v 1 = (1, 5, 6) i v 2 = (1, 2, 3).- Amb aquesta notació, vegem en primer lloc quina dimensió tenen el subespai generat per B 1 ={u 1 , u 2 } i el subespai generat per B 2 = {v 1 , v 2 }. Per fer-ho, procedirem com és habitual: posaremels vectors de cada un d’aquests conjunts per columnes i calcularem el rang de les matrius queaixí obtenim.- Per al conjunt de vectors B 1 , el rang de la matriu que ens determinen el calculem esglaonant lamatriu per files. Concretament fem:⎛⎝ 1 2 ⎞ ⎛−1 1 ⎠ (1)∼ ⎝ 1 2 ⎞ ⎛0 3⎠ (2)∼ ⎝ 1 2 ⎞0 3⎠0 3 0 3 0 0on(1) : fila 2 = fila 2 + fila 1,(2) : fila 3 = fila 3 − fila 2.Per tant, la matriu té rang 2, i en conseqüència el subespai vectorial ⟨B 1 ⟩ té dimensió 2.
Page 1:
ÀLGEBRA LINEALExercicis i probleme
Page 5:
Exercicis i problemes. Enunciats
Page 8 and 9:
6 - Exercicis i problemes.(c) En R
Page 10 and 11:
8 - Exercicis i problemes.(a) Demos
Page 12 and 13:
10 - Exercicis i problemes.(a) Dete
Page 15 and 16:
§ 1. Solucions i resolucions comen
Page 17 and 18: § 1. Solucions i resolucions comen
Page 67: § 7. Solucions i resolucions comen
Page 83 and 84: § 10. Solucions i resolucions come
Page 119 and 120:
§ 15. Solucions i resolucions come
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217:
show all

`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?