`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

172 - Exercicis i problemes. § 20.- Forma diagonal per blocs associada.Per acabar, fent servir la descomposició de C 3 com suma directa de subespais invariants, calcularemuna matriu diagonal per blocs associada D ′ ∈ M 3 (C) i una matriu invertible Q ∈ M 3 (C)tal que A = QD ′ Q −1 .En aquest cas la matriu D ′ és una matriu amb tres blocs 1 × 1 (ja que cada bloc correspon acada un dels tres sumands de la descomposició). És a dir, en aquest cas la matriu D ′ és unamatriu diagonal. Mentre que la matriu invertible Q ∈ M 3 (C) és la matriu formada per una basede vectors propis (ja que cada un dels tres sumands és un subespai de vectors popis). Per tanttenim el mateix resultat que abans, A = QD ′ Q −1 on:D ′ = D =Q = P =⎛⎝ 0 0 00 2i 00 0 −2i⎛⎝ 1 1 10 i −i1 −1 −1⎞⎠ ,⎞⎠ .- Com a endomorfisme real- Valors propis de la matriu A.El polinomi característic de la matriu A l’hem calculat en la pàgina 167. Concretament hem vistque aquest polinomi ésp A (x) = −x 3 + 4x = −x(x 2 + 4).Per tant, si K = R o si K = Q, aleshores el polinomi característic només té una arrel λ 1 = 0 iaquesta arrel és simple. Així, com a matriu d’un R-endomorfisme, la matriu A té un únic valorpropi real λ 1 = 0 (i aquest valor propi és simple).-És la matriu A una matriu R-diagonalitzable?Recordem que una matriu n × n és diagonalitzable si i només si el polinomi característic descompontotalment en factors lineals i la multiplicitat algebraica de cada valor propi coincideix ambla seva multiplicitat geomètrica.En aquest cas, doncs, la matriu A no és R-diagonalitzable ja que el polinomi característic p A (x)no descompon en factors lineals en l’anell de polinomis R[x].- Comentari. La idea és que si el polinomi característic d’una matriu A ∈ M n (K) no descompontotalment en factors lineals en K[x] aleshores no podem trobar suficients escalars en el cos K perobtenir una forma diagonal associada a la matriu (ja que ens en calen n). Per tant, en aquestcas, segur que la matriu A no és una matriu K-diagonalitzable.