`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 18. Solucions i resolucions comentades - 135( 1ρ 2 (v 1 ) = (e ∗ 1 − e ∗ 3)2 e 1 − 1 2 e 2 + 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 − 1 2 = 0( 1ρ 2 (v 2 ) = (e ∗ 1 − e ∗ 3)2 e 1 + 1 2 e 2 − 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 + 1 2 = 1( 1ρ 2 (v 3 ) = (e ∗ 1 − e ∗ 3)2 e 1 + 1 2 e 2 + 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 − 1 2 = 0( 1ρ 3 (v 1 ) = (e ∗ 2 + e ∗ 3)2 e 1 − 1 2 e 2 + 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 − 1 2 = 0( 1ρ 3 (v 2 ) = (e ∗ 2 + e ∗ 3)2 e 1 + 1 2 e 2 − 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 − 1 2 = 0( 1ρ 3 (v 3 ) = (e ∗ 2 + e ∗ 3)2 e 1 + 1 2 e 2 + 1 )2 e 3 = . . . = 1 2 + 1 2 = 1on hem omès el desenvolupament dels termes mitjançant la linealitat de les formes ρ i i la definicióde suma d’aplicacions lineals. El desenvolupament es deixa al lector com a exercici.Resolució alternativa- Una manera alternativa d’atacar aquest problema l’exposem a continuació.- Atès que les formes ρ i ens venen donades com combinació lineal de les formes e ∗ j , els coeficientsque acompanyen aquestes últimes formes són exactament les coordenades de les ρ i en la basedual Be ∗ = {e ∗ 1, e ∗ 2, e ∗ 3} i, per tant, la matriu d’aquests “vectors” en columna és exactament lamatriu de canvi de base de la base B a la base Be ∗ . És a dir, tenim:ρ 1 = (1, −1, 0) B ∗eρ 2 = (1, 0, −1) B ∗ eρ 3 = (0, 1, 1) B ∗ei per tant:M(B → B ∗ e ) =⎛⎝ −1 0 11 1 00 −1 1⎞⎠ .- Volem determinar la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } de E tal que la seva base dual sigui B ∗ = B.- Pel que sabem de teoria, la matriu de canvi de base de la base B a la base B e = {e 1 , e 2 , e 3 } ésla matriu:M(B → B e ) = (M(B ∗ → B ∗ e ) T ) −1i així ara tenim:M(B → B e ) = (M(B ∗ → B ∗ e ) T ) −1 = (M(B → B ∗ e ) T ) −1 .- Per tant, les “columnes” d’aquesta matriu seran les coordenades, en la base B e , dels vectors v ique busquem. Calculant tenim: