`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

208 - Exercicis i problemes. § 27.- 27.En R 3 considerem el producte escalar usual. Sigui f : R 3 → R 3 l’endomorfisme de R 3 definitper f(x, y, z) = (y + z, −x − y − z, x + y).(a) Determineu F 1 , F 2 ⊆ R 3 subespais complementaris i invariants per f amb dim F 1 = 1.És F 2 el complementari ortogonal de F 1 ?(b) Doneu una base ortonormal {v 1 , v 2 , v 3 } de R 3 amb v 1 ∈ F 1 . Per a w = (x, y, z) ∈ R 3 ,calculeu les coordenades w i de f(w) en aquesta base.(c) Sigui w = (1, 2, −3). Demostreu que w i f(w) estan a la mateixa distància del subespaiF 2 . Al fer la imatge de w per f, ens allunyem o ens apropem al subespai F 1 ?Solució(a) F 1 = Ker(A + Id) = ⟨(1, 0, −1)⟩ i F 2 = Ker(A 2 + Id) = ⟨(0, 1, 0), (1, 0, 1)⟩. Són subespaiscomplementaris i ortogonals.(b) Una base ortonormal és v 1 = √ 1 2(1, 0, −1), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = √ 12(1, 0, 1).Les coordenades de w en aquesta base són ( 1 √2(x − z), y,1 √2 (x + z)).Les coordenades de f(w) en aquesta base són ( 1 √2(−x + z), −x − y − z,1 √2 (x + 2y + z)).(c) d(w, F 2 ) = 2 √ 2 = d(f(w), F 2 ).d(w, F 1 ) = √ 6 > √ 2 = d(f(w), F 1 ).Resolució- Notació 1. Com que totes les matrius associades a endomorfismes que considerarem en aquestproblema les calcularem en la base canònica B e de R 3 , denotarem la matriu associada a unendomorfisme h: R 3 → R 3 en la base B e per M h enlloc de M(h; B e ).- Notació 2. En aquest problema, i per evitar confusions, donats r vectors v 1 , . . . , v r de R 3denotarem per ⟨v 1 , . . . , v r ⟩ R el subespai vectorial de R 3 que aquests vectors generen. Així, ⟨u, v⟩ Rés el subespai vectorial generat pels vectors u i v de R 3 (per tant, ⟨u, v⟩ R és un subespai de R 3 ),mentre que ⟨u, v⟩ és el producte escalar d’aquests dos vectors (per tant, ⟨u, v⟩ és un nombre real).Resolució (a)- Atès que volem determinar dos subespais invariants per l’endomorfisme f, usarem el primerteorema de descomposició per al polinomi característic de f. Recordem que aquest teorema ens