`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 3. Solucions i resolucions comentades - 39- Per veure que el sistema és compatible determinat n’hi ha prou amb veure que la matriu A tédeterminant no nul. Si calculem tenim1 1 0∣ ∣ ∣∣∣det(A) =0 1 1∣1 1 1∣ = 1 · 1 1∣∣∣ (−1)1+1 1 1∣ + 1 · 0 1(−1)1+2 1 1∣ = 0 + (−1) · (−1) = 1 ≠ 0.Amb això concloem que el conjunt de vectors B és una base de R 3 .- Ara, per calcular les coordenades de w en la base B, hem de resoldre el sistema. Per resoldre elsistema calculem, tal i com hem fet a la pàgina 19, la matriu inversa de la matriu A per adjuntsi obtenim:⎛∣ 1 11 1 ∣ −∣ 0 11 1 ∣ ∣ 0 1⎞T1 1 ∣⎛⎞TA −1 =−∣ 1 01 1 ∣ ∣ 1 01 1 ∣ −∣ 1 10 1 −11 1 ∣= ⎝ −1 1 0 ⎠ .1 −1 1⎜⎝∣ 1 01 1 ∣ −∣ 1 00 1 ∣ ∣ 1 1⎟⎠0 1 ∣Per tant la inversa de la matriu A és la matriu:⎛A −1 = ⎝0 −1 11 1 −1−1 0 1Ara podem resoldre el sistema multiplicant ambdós costats per A −1 , obtenint com solució:⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ 1a 0 −1 1 a −b + c⎝λ 2⎠ = A −1 ⎝b⎠ = ⎝ 1 1 −1 ⎠ ⎝b⎠ = ⎝ a + b − c ⎠ .λ 3 c −1 0 1 c −a + cPer tant, les coordenades de w en la base B són⎞⎠ .w = (−b + c, a + b − c, −a + c) B= (−b + c)u 1 + (a + b − c)u 2 + (−a + c)u 3 .Resolució (c)- Anem a presentar dues resolucions per a aquest apartat.- Resolució IEn aquesta resolució procedirem de manera anàloga a com ho hem fet en l’apartat anterior.En aquest cas tenim E = R 4 i tenim el conjunt B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } de quatre vectors onu 1 = (1, 0, 0, 1), u 2 = (0, 2, 3, 0), u 3 = (1, 0, −1, 0) i u 4 = (0, 1, 2, 0).