`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 6. Solucions i resolucions comentades - 61una fila o columna de zeros en aquesta transformada de B. Ara bé, si calculem el determinantde l’únic menor 3 × 3 que no té una fila o columna de zeros, ens queda:∣ 0 −a 21 a 12 ∣∣∣∣∣ −a 12 a 11 − a 22 0 = (−1)(−a 21 )∣ −a ∣ ∣ 12 0 ∣∣∣ ∣∣∣ −a+ a 12 a 11 − a 22∣aa 21 0 a 22 − a 21 a 22 − a 12 11 a 21 0 ∣11= a 21 (−a 12 (a 22 − a 11 ) − 0) + a 12 (0 − a 21 (a 11 − a 22 ))= a 21 a 12 (a 11 − a 22 ) − a 12 a 21 (a 11 − a 22 ) = 0.Per tant, la matriu B té tots els seus menors 3×3 iguals a 0, de manera que el seu rang és menoro igual a 2. De fet, observem que el seu rang no pot ser mai exactament 1, ja que no es podenanul·lar simultàniament dues files sense que s’anul·li també la tercera.- Per tant, tenim:rang(B) ={0, si a 12 = a 21 = 0 i a 11 = a 22 (⇔ la matriu A és escalar)2, altrament (⇔ la matriu A no és escalar)d’on com que dim F 2 (A) = dim M 2 (R) − rang(B) = 4 − rang(B), en deduïm:{4, si A és escalardim F 2 (A) =2, si A no és escalar- Comentari. L’equivalència “dim F 2 (A) = 4 ⇔ A és escalar” s’interpreta de la següent manera:les matrius escalars de M 2 (R) són les úniques matrius de M 2 (R) que commuten (amb elproducte) amb totes les matrius de M 2 (R).Resolució (c)- Per a la resolució d’aquest apartat usarem el següent lema que hem introduït en la resolució delproblema de la pàgina 51 (vegeu allà alguns comentaris respecte aquest resultat).- Lema. Sigui E un K-espai vectorial. Si F 1 , F 2 ⊆ E són dos subespais vectorials de dimensiófinita tals que F 1 ⊆ F 2 , aleshores F 1 = F 2 si i només si dim F 1 = dim F 2 .- A continuació detallem dues maneres diferents de resoldre aquest apartat.- Resolució IVolem demostrar que es té la igualtat F 1 (A) = F 2 (A) si i només si A no és una matriu escalar. Enaquesta resolució el que farem és demostrar per separat les dues implicacions de l’equivalència.Primer anem a veure que si A no és una matriu escalar aleshores es té la igualtat de subespaisF 1 (A) = F 2 (A). Per tant, suposem que A no és una matriu escalar. En aquesta situació, elsapartats anteriors ens asseguren que dim F 1 (A) = dim F 2 (A) = 2. Per tant, pel lema només ensfalta veure o bé que F 1 (A) ⊆ F 2 (A) o bé que F 1 (A) ⊇ F 2 (A) per tenir la igualtat de subespais.Ara bé, és obvi que F 1 (A) ⊆ F 2 (A), ja que tota matriu potència de A commuta amb A. És adir, es té que:A k · A = A k+1 = A · A k