`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

112 - Exercicis i problemes. § 14.Observem que 1 /∈ Im f 2 , de manera que els polinomis constants no nuls no estan en la imatge def 2 i, en particular, cap d’aquests elements pot tenir antiimatge per aquesta aplicació. De fet, elselements de la imatge de f 2 són els polinomis amb terme independent igual a zero. Així doncs,f 2 no és exhaustiu.Resolució (b)- Observeu que com que f 1 i f 2 són dos endomorfismes de R[x], aleshores podem considerar lescomposicions f 1 ◦ f 2 i f 2 ◦ f 1 . Ambdues composicions són endomorfismes de R[x].- Anem a veure que la composició f 1 ◦ f 2 és bijectiva.Fixem-nos que la composició que estem considerant és:f 2f 1R[x] −→ R[x] −→ R[x]p ↦−→ ∫ x0 p(t)dtq ↦−→ q ′Per tant, si p ∈ R[x] és un polinomi arbitrari donat perp =n∑a i x ialeshores, tal i com hem vist abans, f 2 (p) es pot calcular comi, per tant, (f 1 ◦ f 2 )(p) ve donat per:f 2 (p) =i=0n∑i=0(f 1 ◦ f 2 )(p) = f 1 (f 2 (p)) = f 1( n∑=n∑i=0i=0a ii + 1 f 1(x i+1 ) =a ii + 1 xi+1)a ii + 1 xi+1n∑i=0a ii + 1 (i + 1)xi =n∑a i x i = p.Com que el polinomi p que hem pres era arbitrari, tenim que (f 1 ◦ f 2 )(p) = p per a tot p ∈ R[x].Per tant, f 1 ◦ f 2 = Id, que és bijectiva.i=0- Vegem a continuació que f 2 ◦ f 1 no és ni injectiva ni exhaustiva.En aquest cas, la composició que estem considerant és:f 1R[x] −→ R[x]f 2−→p ↦−→ p ′R[x]q ↦−→ ∫ x0 q(t)dt