`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 2. Solucions i resolucions comentades - 19- Vegem ara quan la matriu A és invertible. Recordem que una matriu quadrada té inversa si inomés si el seu determinant és no nul 2 . Per tant, si hem de determinar quan la matriu A ésinvertible, el més natural de pensar consisteix a calcular el determinant de la matriu A i veureper a quins valors de a ∈ R aquest determinant és diferent de 0.- Tanmateix això seria un càlcul innecessari ja que acabem de calcular el rang de la matriu, i unacaracterització alternativa de matriu invertible és que sigui quadrada i tingui rang màxim (iguala l’ordre de la matriu). Com acabem de veure, la matriu A té rang 3 (màxim) per a a ≠ −1 i,per tant, serà invertible per a aquests valors de a.- Observació. Una manera alternativa de procedir hauria estat calcular en primer lloc el determinantde la matriu A i determinar per a quins valors de a és nul (atès que obtindríem una equaciópolinomial en a, serien un nombre finit). Per a aquest nombre finit de valors de a esglaonaríemper files la matriu i determinaríem el rang de la matriu com hem fet aquí; i, per a la resta devalors de a, el rang de la matriu seria 3. Aquesta alternativa, tot i que seria més llarga amb lamatriu donada, és útil en cas de tenir més d’un paràmetre.Resolució (a.2)- Hi ha diversos mètodes per calcular la inversa d’una matriu donada. Nosaltres usarem el mètodede càlcul per adjunts, i deixem com a exercici per al lector provar amb qualsevol altre mètodeque la matriu que trobarem és, efectivament, la matriu inversa de A per a a = 0.- Abans de fer cap càlcul, però, hem de comprovar si la matriu és invertible. En l’apartat anteriorhem determinat que la matriu A és invertible si i només si a ≠ −1. Com que estem prenenta = 0 ≠ −1, aquesta matriu és, en efecte, invertible.- Ara que hem comprovat que la matriu es pot invertir, vegem quina és la matriu que estemconsiderant:⎛⎞A = −1 1 2 ⎠ .⎝ 1 1 12 0 0- El primer que necessitem per calcular la matriu inversa és el determinant de la matriu de partida.El càlcul del determinant d’una matriu 3 × 3 es pot fer desenvolupant per adjunts alguna filao columna, o bé mitjançant la regla de Sarrus. Nosaltres desenvoluparem per la tercera fila,aprofitant que hi tenim dos zeros, i ens estalviem de calcular dos adjunts:det(A) =∣1 1 1−1 1 22 0 0∣ ∣∣∣ ∣ = 2 · 1 1(−1)3+1 1 2∣ = 2 · (2 · 1 − 1 · 1) = 2.- Passem ara al càlcul de la matriu inversa pròpiament. Per la regla de càlcul de la matriu inversaper adjunts sabem que la matriu inversa és:A −1 =1det(A)⎛⎞a ∗ 11 a ∗ 12 a ∗ 13⎝a ∗ 21 a ∗ 22 a ∗ ⎠23a ∗ 31 a ∗ 32 a ∗ 332 En general, una matriu quadrada amb coeficients en un anell (commutatiu) és invertible si i només si el seudeterminant és un element invertible de l’anell. En un cos, però, tot element no nul és invertible.T