`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

152 - Exercicis i problemes. § 20.Un cop recordat això anem a determinar els vectors propis de valor λ = −1. Aquests vectorssón els elements no nuls del subespai Ker(A + Id). Per tant, la matriu que estem considerant ésA + Id =⎛⎝ −1 0 14 3 −11 0 −1Observem que la suma de la primera i tercera columnes ens dóna la segona columna, de maneraque el nucli d’aquesta matriu és Ker(A + Id) = ⟨(1, −1, 1)⟩.Tot i que en aquesta resolució hem determinat el nucli Ker(A−λ Id) “a vista”, la manera generalper trobar-ne els generadors és resoldre el sistema homogeni de matriu associada A − λ Id, és adir el sistema homogeni (A − λ Id)x = 0. Abans de continuar calculant una base {v 1 , v 2 , v 3 } devectors propis de la matriu A, anem a fer un comentari relatiu a la solució dels sistemes linealshomogenis 20 .⎞⎠ .- Comentari. Els vectors propis de la matriu A de valor propi λ = −1 els determinem solucionantel sistema d’equacions⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−1 0 1 x 0⎝ 4 3 −1 ⎠ ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 ⎠1 0 −1 z 0és a dir el sistema lineal homogeni⎧⎨⎩−x +z = 04x +3y −z = 0x −z = 0La matriu d’aquest sistema homogeni té rang 2 i, per tant, podem escriure les solucions enfunció d’un paràmetre (ja que el sistema té un grau de llibertat). És a dir, podem donar lessolucions de la forma x ≡ x(ξ), y ≡ y(ξ) i z ≡ z(ξ) on ξ ∈ R és un paràmetre real. En aquestcomentari anem a analitzar una mica més aquesta frase, concretament anem a veure què podemagafar com a paràmetre 21 . En general, si Ax = 0 és un sistema homogeni de n equacions i nincògnites x 1 , . . . , x n , i si notem per C 1 (A), . . . , C n (A) les n columnes de la matriu A, aleshoreses té que, les solucions del sistema Ax = 0 es poden escriure de manera lineal en funció de lesvariables x i1 , . . . , x ir (és a dir, podem escriure x i ≡ x i (x i1 , . . . , x ir ) per a 1 ≤ i ≤ n) si i només sirang(A) = rang(C i1 (A), . . . , C ir (A)) = r. En el nostre cas, per tant, únicament hem d’observarque com que la matriu del sistema té rang 2 aleshores podem afirmar que qualsevol menor de rang2 ens permet escriure les seves dues incògnites associades com a variables i la resta d’incògnites(en aquest cas una) com a paràmetres (en aquest cas un). Dit d’una altra manera, com que perexemple el menor( ) −1 04 3és un menor de rang 2, aleshores sí que podem fer servir la variable z com a paràmetre ξ i,per tant, podem donar la solució del sistema de la forma x ≡ x(z) i y ≡ y(z). En efecte,resolem el sistema d’equacions i obtenim x = z i 3y = z − 4x = −3z, d’on y = −z i, per tant,20 Aquest és, per tant, un comentari més propi del tema de resolució de sistemes d’equacions lineals que del temade diagonalització.21 Una generalització al cas no lineal és el teorema de la funció implícita.