`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

158 - Exercicis i problemes. § 20.Per una banda sabem que aquest nucli té dimensió 1. Per altra banda, com que la primerai tercera columnes d’aquesta matriu són proporcionals per un factor −2, podem afirmar que(2, 0, 1) ∈ Ker A. Així podem concloure que Ker A = ⟨(2, 0, 1)⟩. Per tant, el vector (2, 0, 1) és unvector propi de la matriu A associat al valor propi 0.- Comentari. Observem que el màxim nombre de vectors propis linealment independents que téla matriu A és dos. En particular no existeix una base de vectors propis associada a la matriuA i, per tant, recuperem el que ja sabem: que la matriu A no és diagonalitzable.- Comentari. Seguint amb la idea dels comentaris de les pàgines 152 i 153, els vectors propis devalor propi λ = 0 els determinem solucionant el sistema d’equacions⎛⎞ ⎛−2 20 4⎝ 0 −3 0 ⎠ ⎝ x ⎞ ⎛y ⎠ = ⎝ 0 ⎞0 ⎠ .−1 7 2 z 0Com que la matriu d’aquest sistema homogeni té rang 2, aleshores podem escriure les solucionsdel sistema de la forma x ≡ x(ξ), y ≡ y(ξ) i z ≡ z(ξ) on ξ ∈ R és un paràmetre real. En aquestcas, com que per exemple el menor ( −2) 200 −3és un menor de rang 2, aleshores sí que podem fer servir la variable z com a paràmetre ξ i, pertant, podem donar la solució del sistema de la forma x ≡ x(z) i y ≡ y(z), (en aquest cas resultax ≡ x(z) ≡ 2z i y ≡ y(z) ≡ 0). Ara bé, no podem posar la incògnita y com a paràmetre ξ ja queels tres menors ( −2 40 0) ( −2 4,−1 2),( 0 0−1 2tenen rang 1. Per tant no podem donar la solució del sistema de la forma x ≡ x(y) i z ≡ z(y).)- Polinomi mínim de la matriu A.Ara anem a calcular el polinomi mínim m A (x) de la matriu A. Per calcular-lo recordem queaquest polinomi ha de ser un divisor mònic del polinomi característic i ha de tenir les mateixesarrels. En el nostre cas el polinomi característic de la matriu A ésp A (x) = −(x + 3)x 2de manera que només tenim dos candidats a polinomi mínim:o bé m A (x) = (x + 3)xo bé m A (x) = (x + 3)x 2 .Tanmateix recordem el teorema de la pàgina 149. Aquest teorema ens diu que totes les arrelsdel polinomi mínim m A (x) tenen multiplicitat 1 si i només si la matriu A és diagonalitzable.Així, com que en el cas en què estem sabem que la matriu A no és diagonalitzble (ja que lesmultiplicitats algebraica i geomètrica d’un valor propi no coincideixen), per tant podem afirmarque el polinomi (x + 3)x no pot ser el polinomi mínim de A, de manera quem A (x) = (x + 3)x 2 .