`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

192 - Exercicis i problemes. § 23.- Per acabar aquest primer apartat, comprovem que v 3 no és un vector propi de f.- Per veure que v 3 no és un vector propi de f procedirem igual que abans: aplicarem f sobre elvector v 3 i veurem que no satisfà la definició de vector propi. Calculant tenim:f(v 3 ) = f(0, 1, 1, 0) = (1 , −0 + 2 · 1 , 1 , −0 + 1 − 1 + 2 · 0) = (1, 2, 1, 0)i, per tant, per a tot λ ∈ R es té que f(v 3 ) ≠ λv 3 , d’on v 3 no és un vector propi de f. De fetobservem que la seva imatge f(v 3 ) és una combinació lineal dels vectors v 1 i v 3 , concretament esté que f(v 3 ) = v 1 + v 3 .- Observació. Una manera alternativa de veure que v 3 no és un vector propi de f l’exposem acontinuació. Hem vist que ⟨v 1 , v 2 ⟩ = Ker(f − Id) i que ⟨v 4 ⟩ = Ker(f − 2 Id). D’altra banda, comque v 3 , v 4 són linealment independents tenim que v 3 /∈ ⟨v 4 ⟩ = Ker(f − 2 Id), i per tant v 3 no ésvector propi de valor propi 2. Anàlogament, com que v 1 , v 2 , v 3 són linealment independents, esté que v 3 /∈ ⟨v 1 , v 2 ⟩ = Ker(f − Id), de manera que el vector v 3 no és vector propi de valor propi1. Per tant, com que els únics valors propis de f són λ 1 = 2 i λ 2 = 1, podem concloure que v 3no és un vector propi de f.Resolució (b)- En primer lloc justifiquem que, en efecte, el subespai vectorial F = ⟨v 1 , v 2 ⟩ és un subespaiinvariant per f. És a dir, hem de veure que f(F ) ⊆ F .- Sigui v ∈ F . Aleshores v es pot escriure de manera única com v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 . Aplicant f sobrev i usant la linealitat de l’endomorfisme, tenimf(v) = f(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = f(λ 1 v 1 ) + f(λ 2 v 2 ) = λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 ).Ara recordem que en l’apartat anterior hem vist que els vector v 1 i v 2 són vectors propis de fvalor propi 1 i, per tant, es tenen les igualtatsf(v 1 ) = v 1 ,f(v 2 ) = v 2 .Substituint-ho en l’expressió anterior, ens quedaf(v) = λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 ) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2i, per tant, f(v) ∈ F . D’aquí podem concloure la inclusió f(F ) ⊆ F .que el subespai F és un subespai invariant per l’endomorfisme f.És a dir, podem concloure- Observació. Fixem-nos que en realitat hem demostrat més, ja que el que hem provat és quef(v) = v per a tot v ∈ F . És a dir, el subespai F no és només un subespai invariant per f, sinóque tots els seus vectors són fixos per l’endomorfisme f. Això es deu a que F = ⟨v 1 , v 2 ⟩ i queels dos vectors v 1 i v 2 que generen F són vectors propis de valor propi 1. Si el valor propi fosdiferent, només podríem assegurar la invariància de F per f.