`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

178 - Exercicis i problemes. § 21.per a tot i ∈ {1, . . . , r} amb n i ≥ 2 es té que n i = dim Ker(A − λ i Id). A més, en aquest casla forma diagonal associada és D = Diag(λ 1 , . n .1., λ 1 , . . . . . . , λ r , . n .r., λ r ) ∈ M n (K).- Passem ara a la resolució d’aquest exercici. Atès que els quatre apartats són independents, alllarg de tota la resolució denotarem per A la matriu corresponent a l’apartat que estem resolent.Resolució (a)- Comencem per calcular els valors propis de A. Per fer-ho determinarem el polinomi característicp A (x) de la matriu A, ja que els valors propis són les arrels d’aquest polinomi.- El polinomi característic p A (x) de la matriu A és el polinomi( )a − x bp A (x) = det(A − x Id) = det−b a − x( ) ( )= x 2 a ba b− Tr· x + det−b a−b a= x 2 − 2ax + a 2 + b 2 .- Observem que, per tant, les arrels del polinomi p A (x) són les solucions d’una equació de segongrau amb discriminant∆ = (−2a) 2 − 4(a 2 + b 2 ) = 4a 2 − 4a 2 − 4b 2 = −4b 2i, per tant, aquesta equació tindrà una arrel doble real si b = 0, i tindrà dues arrels complexesconjugades per a qualsevol altre valor del paràmetre real b.- Així hem de discutir dos casos: quan b = 0 i quan b ≠ 0.- Primer estudiem el cas b = 0. En aquest cas el polinomi característic té la formap A (x) = x 2 − 2ax + a 2 = (x − a) 2que ja està factoritzat. Així el polinomi característic té l’arrel doble a i, per tant, a és l’únicvalor propi. Per veure si la matriu A és o no és una matriu diagonalitzable hauríem de calcular lamultiplicitat geomètrica del valor propi a (i la matriu serà diagonalitzable si i només si aquestamultiplicitat val 2, que és la multiplicitat algebraica). Ara bé, quan b = 0 la matriu A que estemconsiderant és( ) ( )a b a 0A ==−b a 0 ade manera que ja la tenim diagonalitzada i, per tant, no cal fer res més.- Ara hem d’estudiar la diagonalització de la matriu A en el cas b ≠ 0. Per a b ≠ 0 les arrels delpolinomi característic de la matriu A són els nombres complexos no realsµ 1 = 2a + √ ∆2µ 2 = 2a − √ ∆2= 2a + √ −4b 22= 2a − √ −4b 22= a + |b|i= a − |b|i