`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

48 - Exercicis i problemes. § 4.- La manera més evident de resoldre aquest problema és invertir la matriu A i imposar la igualtatanterior, o bé invertir la matriu P i imposar la igualtat P −1 = A. Tanmateix, invertir unamatriu és, en general, un procediment llarg i tediós (sobre tot si en la matriu tenim paràmetres).Per tant és recomanable buscar algun procediment alternatiu. El que farem és usar directamentla definició de matriu invertible: una matriu quadrada M d’ordre n és invertible si i només siexisteix una altra matriu quadrada N d’ordre n tal que M · N = N · M = Id i, en aquestasituació, es diu que N és la inversa de M i ho notarem N = M −1 .- Anem, per tant, a fer servir la definició. Així, en el nostre cas, com que volem que A −1 = P ,calcularem el producte de matrius A · P i imposarem que sigui igual a la matriu identitat 3 × 3.Fent aquest càlcul tenim:⎛1 0⎞ ⎛1A · P = ⎝0 a 1⎠⎝0 1 b1 1/2 −3/20 1/2 −1/20 −1/2 3/2⎞⎛⎠ = ⎝i imposant ara que A · P = Id, es té la igualtat matricial:⎛⎝ 1 0 00 a/2 − 1/2 −a/2 + 3/20 1/2 − b/2 −1/2 + 3b/21 0 00 a/2 − 1/2 −a/2 + 3/20 1/2 − b/2 −1/2 + 3b/2⎞ ⎛⎠ = ⎝ 1 0 0 ⎞0 1 0⎠0 0 1que podem reescriure en forma d’un sistema d’equacions lineals amb dues incògnites:⎧⎪⎨⎪⎩a/2 − 1/2 = 1−a/2 + 3/2 = 01/2 − b/2 = 0−1/2 + 3b/2 = 1La primera i segona equació ens donen a = 3, mentre que la tercera i quarta equació ens donenb = 1. Observem que es compleix ab = 3 ≠ 1, de manera que per a aquests valors el conjunt B vés una base de l’espai, tal i com hem vist anteriorment.- En conclusió, els valors de a i de b per als quals els vectors del conjunt B v satisfan les propietatsdemanades són a = 3 i b = 1.⎞⎠- Comentari. Per definició d’inversa es té que A −1 = P si i només si A · P = P · A = Id. Pertant, per veure que A −1 = P hauríem de comprovar les dues igualtats, és a dir que A · P = Id ique P · A = Id. Ara bé es pot demostrar que si es té una de les dues igualtats aleshores tambées té l’altra. Per tant, per veure que A −1 = P realment n’hi ha prou amb comprovar només unade les dues igualtats, és a dir n’hi ha prou amb veure o bé que A · P = Id o bé que P · A = Id.- Comentari. En la resolució hem imposat que A · P = Id. Ara, tot i que no és necessari, anem aveure què obtenim si demanem P · A = Id. Fent aquest càlcul tenim:⎛P · A = ⎝1 1/2 −3/20 1/2 −1/20 −1/2 3/2⎞ ⎛⎠ ⎝ 1 0 1 ⎞ ⎛0 a 1⎠ = ⎝0 1 b1 a/2 − 3/2 3/2 − 3b/20 a/2 − 1/2 1/2 − b/20 −a/2 + 3/2 −1/2 + 3b/2⎞⎠