`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 23. Solucions i resolucions comentades - 189- 23.Considerem l’endomorfisme f de R 4 definit per f(x, y, z, t) = (y, −x + 2y, z, −x + y − z + 2t),i considerem els vectors v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 0, 1, 1), v 3 = (0, 1, 1, 0) i v 4 = (0, 0, 0, 1).(a) Comproveu que l’endomorfisme f no és diagonalitzable, que els vectors v 1 , v 2 , v 4 sónvectors propis de f, i que v 3 no és vector propi de f.(b) Sigui F el subespai invariant F = ⟨v 1 , v 2 ⟩, i considerem l’endomorfisme ˜f induït per fen l’espai quocient R 4 /F . Comproveu que ˜f és un endomorfisme diagonalitzable i queels vectors [v 3 ], [v 4 ] determinen una base de R 4 /F formada per vectors propis de ˜f.Solució—Resolució (a)- Comencem per calcular el polinomi característic p f (x) ∈ R[x] de l’endomorfisme f de R 4 . Recordemque el polinomi característic de f es defineix com p f (x) = det(f − x Id) i que el podemcalcular a partir del polinomi característic de la matriu M(f; B) associada a f en alguna baseB de l’espai, (ja que també hem vist a teoria que aquest polinomi és independent de la base quetriem).- Sigui, doncs, B e = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } la base canònica de R 4 , i considerem la matriu A = M(f; B e )associada a f en aquesta base, que és la matriu:⎛⎞0 1 0 0A = M(f; B e ) = ⎜ −1 2 0 0⎟⎝ 0 0 1 0 ⎠ .−1 1 −1 2- Aleshores, el polinomi característic de l’endomorfisme f és:⎛⎞−x 1 0 0p f (x) = p A (x) = det(A − x Id) = det ⎜ −1 2 − x 0 0⎟⎝ 0 0 1 − x 0 ⎠−1 1 −1 2 − x⎛⎞−x 1 0(= (2 − x) det ⎝ −1 2 − x 0 ⎠ −x 1= (2 − x)(1 − x) det−1 2 − x0 0 1 − x= (2 − x)(1 − x)(x 2 − 2x + 1) = (2 − x)(1 − x)(1 − x) 2= (2 − x)(1 − x) 3 = (x − 2)(x − 1) 3 .)