`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

76 - Exercicis i problemes. § 9.Calculant tenim que f(1, −1) = (1 − α 2 , 1 − 1, 1 − α) = (1 − α 2 , 0, 1 − α).Per tant, f(1, −1) = (0, 0, 0) si i només si (1 − α 2 , 0, 1 − α) = (0, 0, 0). Ara aquesta igualtat lapodem reescriure en forma de sistema de tres equacions amb una incògnita:⎧⎨⎩1 − α 2 = 00 = 01 − α = 0La primera equació ens dóna α 2 = 1, mentre que la darrera equació ens fixa el signe, donant-nosα = 1. Per últim, la segona equació és una identitat que ens assegura que el sistema té solució.Per tant hem provat que tenim la inclusió ⟨(1, −1)⟩ ⊆ Ker f si i només si α = 1.- Ara provem que si α = 1 aleshores tenim la igualtat de subespais Ker f = ⟨(1, −1)⟩.Això ho podem fer de dues maneres: o bé calculant explícitament el nucli, o bé mirant quina ésla seva dimensió. Anem a fer-ho de les dues maneres:- Si calculem el nucli tenim que, per a α = 1, el nucli de f ésKer f = {(x, y) ∈ R 2 : f(x, y) = (0, 0, 0)}= {(x, y) ∈ R 2 : (x + y, x + y, x + y) = (0, 0, 0)}= {(x, y) ∈ R 2 : x + y = 0}i per tant es té la igualtat Ker f = {(x, y) ∈ R 2 : x + y = 0} = ⟨(1, −1)⟩.- Si calculem la dimensió del nucli tenim que per a α = 1⎛1 1⎞dim Ker f = 2 − rang ⎝ 1 1 ⎠ = 11 1i per tant tenim igualtat de dimensions dim Ker f = dim⟨(1, −1)⟩ = 1, d’on podem concloureque la inclusió de subespais ⟨(1, −1)⟩ ⊆ Ker f esdevé una igualtat.Així hem demostrat que per a α = 1 es té la igualtat de subespais Ker f = ⟨(1, −1)⟩.- Per tant, en conclusió, hem provat que Ker f = ⟨(−1, 1)⟩ si i només si α = 1.- Segona part- Continuem amb l’aplicació lineal f : R 2 → R 3 definida per f(x, y) = (x + α 2 y, x + y, x + αy).- En aquesta part de l’exercici volem determinar per a quins valors del paràmetre real α ∈ Rl’aplicació lineal f té per imatge el subespai vectorial {(x, y, z) ∈ R 3 : x − y = 0}.- Recordem que si E 1 i E 2 són dos K-espais vectorials, i si h: E 1 → E 2 és una aplicació K-lineal,aleshores la imatge de h, que notarem per Im h, és el subespai vectorial de E 2 format per lesimatges dels vectors de E 1 . És a dir, Im h = {h(u) : u ∈ E 1 }. La linealitat de l’aplicació enspermet demostrar que la imatge d’una base per una aplicació lineal és un sistema de generadors