`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 20. Solucions i resolucions comentades - 171- Polinomi mínim de la matriu A.Observem que, en general, si A ∈ M n (C) aleshores podem afirmar que la descomposició factorialdel polinomi característic p A (x) en l’anell de polinomis C[x] és de la formap A (x) = (−1) n (x − λ 1 ) n1 · . . . · (x − λ r ) n ramb λ 1 , . . . , λ r ∈ C diferents entre ells i, per tant, el polinomi mínim m A (x) de la matriu A ésm A (x) = (x − λ 1 ) m1 · . . . · (x − λ r ) mron 1 ≤ m i = min{m : dim Ker(A − λ i Id) m = n i } ≤ n i .En particular, si el polinomi característic p A (x) d’una matriu A ∈ M n (C) descompon en factorslineals de multiplicitat 1 a C[x], aleshores el polinomi mínim coincideix amb el polinomicaracterístic (llevat d’un factor constant per fer-lo mònic).Aquesta és exactament la situació que ara tenim.És a dir, com que el polinomi característic de la matriu A ésaleshores el polinomi mínim de la matriu A ésp A (x) = −x(x − 2i)(x + 2i)m A (x) = x(x + 2i)(x − 2i).- Comentari. Notem que, de fet, aquest resultat també el podem obenir aplicant el teorema dediagonalització de la pàgina 149 que diu que una matriu és diagonalitzable si i només si tots elsfactors del polinomi mínim són lineals i de multiplicitat 1. En el nostre cas, per tant, com quesabem que la matriu A és diagonalitzable amb valors propis 0, 2i, −2i aleshores podem afirmarque el polinomi mínim de A és m A (x) = x(x + 2i)(x − 2i).- Subespais invariants associats al primer teorema de descomposició.Aplicant el primer teorema de descomposició al polinomi mínim de la matriu A tindrem que,com que la descomposició en factors irreductibles del polinomi mínin en C[x] és:m A (x) = x(x − 2i)(x + 2i)aleshores l’espai vectorial C 3 té associada la següent descomposició en suma directa de subespaisvectorials invariants:C 3 = Ker A ⊕ Ker(A − 2i Id) ⊕ Ker(A + 2i Id)⟨(1, 0, 1)⟩ ⊕ ⟨(1, i, −1)⟩ ⊕ ⟨(1, −i, −1)⟩.- Comentari. Observem que els tres subespais vectorials que obtenim en aquesta descomposiciósón tots ells subespais de vectors propis. De fet això només es pot tenir quan la matriu A siguiuna matriu diagonalitzable (aquest és el nostre cas).