`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 12. Solucions i resolucions comentades - 91- Resolució IIEn aquesta segona resolució treballarem directament. És a dir, en aquesta segona resoluciódemostrarem que R 4 = f(F ) + f(G) i que f(F ) ∩ f(G) = {0}.Recordeu que per hipòtesi es té que R 4 = F ⊕ G. És a dir, estem suposant que la suma valF + G = R 4 i que la intersecció és F ∩ G = {0}. El que veurem és que l’exhaustivitat def ens permet afirmar que R 4 = f(F ) + f(G), mentre que la injectivitat ens garanteix quef(F ) ∩ f(G) = {0}.Primer anem a veure que R 4 = f(F ) + f(G).Per hipòtesi tenim la igualtat R 4 = F + G. D’aquí, aplicant f en els dos costats de la igualtat,tenim que f(R 4 ) = f(F + G).Per una banda, com que en el nostre cas f és un automorfimse, en particular f és un epimorfismei, per tant, tenim la igualtat f(R 4 ) = R 4 .Per altra banda, per la linealitat, es té que la imatge de la suma de dos subespais per unaaplicació lineal és el subespai vectorial suma de les imatges dels dos subespais. És a dir, engeneral es té que si h : E 1 → E 2 és una aplicació lineal i si H 1 , H 2 ⊆ E 1 són dos subsepaisvectorials, aleshores h(H 1 + H 2 ) = h(H 1 ) + h(H 2 ). Per tant, en el nostre cas tenim la igualtatf(F + G) = f(F ) + f(G).Per tant amb tot això podem concloure que R 4 = f(R 4 ) = f(F + G) = f(F ) + f(G), com volíemdemostrar.Ara, per tal que la suma sigui directa, hem de demostrar que f(F ) ∩ f(G) = {0}.Observem que com que f(F ) ∩ f(G) és un subespai vectorial, aleshores tenim la inclusió {0} ⊆f(F ) ∩ f(G). Per tant, únicament hem de veure que f(F ) ∩ f(G) ⊆ {0}. És a dir hem de veureque si v ∈ f(F ) ∩ f(G) aleshores v = 0.Demostrem-ho. Sigui v ∈ f(F ) ∩ f(G). Aleshores, per ser v ∈ f(F ), existeix u 1 ∈ F tal quef(u 1 ) = v. Anàlogament, per ser v ∈ f(G), existeix u 2 ∈ G tal que f(u 2 ) = v. Ara bé, com quef és un isomorfisme, existeix un únic u ∈ R 4 tal que f(u) = v, d’on es dedueix que u 1 = u 2 = u.Així tenim u = u 1 ∈ F i tenim u = u 2 ∈ G, d’on u ∈ F ∩ G. Ara bé, recordem que comque per hipòtesi R 4 = F ⊕ G, en particular es té que F ∩ G = {0}. Per tant u = 0, d’onv = f(u) = f(0) = 0 (ja que com que f és una aplicació lineal, aleshores f(0) = 0). Així es téque v = 0, com volíem demostrar.Comentari.Per hipòtesi tenim la igualtat F ∩G = {0}. D’aquí, aplicant l’endomorfisme f a aquesta igualtat,es té que f(F ∩G) = f({0}). Recordeu que com que f és una aplicació lineal, aleshores f(0) = 0.Per tant f({0}) = {f(0)} = {0}, i així podem concloure que f(F ∩ G) = f({0}) = {0}.Així, una manera alternativa de demostrar que f(F ) ∩ f(G) = {0} seria provar que, en general,si h : E 1 → E 2 és una aplicació lineal i si H 1 , H 2 ⊆ E 1 són dos subsepais vectorials, aleshoreses té la igualtat h(H 1 ∩ H 2 ) = h(H 1 ) ∩ h(H 2 ). A diferència del que succeeix amb la suma, laintersecció no sempre té un bon comportament. De fet es pot demostrar que en general només esté la inclusió h(H 1 ∩ H 2 ) ⊆ h(H 1 ) ∩ h(H 2 ), mentre que la inclusió h(H 1 ) ∩ h(H 2 ) ⊆ h(H 1 ∩ H 2 )és certa si h és injectiva. Per completar aquest apartat, anem a demostrar aquest resultat.