`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

18 - Exercicis i problemes. § 2.(c.1) Si a ≠ −1 el sistema és compatible determinat.Si a = −1 i c = −2 el sistema és compatible indeterminat.Si a = −1 i c ≠ −2 el sistema és incompatible.(c.2) Per a c = −4 − 2a. És única si c = −4 − 2a i a ≠ −1.(c.3) —(c.4) x = c/2, y = −1 − 3c/2, z = c + 2.(c.5) Si a = −1 la solució és x = −2 + λ, y = 5 − 3λ, z = −2 + 2λ on λ ∈ R.Si a ≠ −1 la solució és x = −1, y = 2, z = 0.Resolució (a.1)- Per determinar el rang de la matriu A hem d’esglaonar-la per files (o columnes) i comptar elnombre de files (o columnes) que no siguin únicament zeros. Aquest nombre enter ens donarà elrang de la matriu.- En el nostre cas, per posar zeros a la primera columna (posicions (2, 1) i (3, 1)), fixarem laprimera fila (aquesta serà la fila pivot) i l’operarem amb la resta. En particular, canviarem lasegona fila per la suma de la primera i segona files, i la tercera fila per la diferència entre aquestai el doble de la primera. És a dir, fem:A =⎛⎝ −1 1 21 1 12 0 aon les transformacions han estat:⎞⎠ (1)∼⎛⎝ 1 1 1 ⎞ ⎛0 2 3⎠ (2)∼2 0 a(1) : fila 2 = fila 2 + fila 1,(2) : fila 3 = fila 3 − 2×fila 1.⎝ 1 1 10 2 30 −2 a − 2Amb això ja gairebé hem acabat. Només ens falta posar un zero a la posició (3, 2). Observemque no podem tornar a operar amb la primera fila, ja que en fer-ho tornaríem a tenir un nombreno nul en la posició (3, 1). Per tant, en aquest cas fixarem les dues primeres files i substituiremla tercera fila per la suma de la segona i la tercera files. Així tenim:A ∼⎛⎝ 1 1 10 2 30 −2 a − 2⎞⎠ (3)∼⎛⎝ 1 1 10 2 30 0 a + 1⎞⎠⎞⎠on(3) : fila 3 = fila 3 + fila 2.- Ara que ja tenim la matriu esglaonada per files, n’hi ha prou amb comptar el nombre de filesdiferents de 0. Fixem-nos que hi ha dues files que, per a tot valor de a, no estaran plenes dezeros, i per tant la matriu A té com a mínim rang 2. De fet, la matriu A tindrà rang 2 si i noméssi a + 1 = 0, és a dir, si i només si a = −1. Per tant, es té que:{2, si a = −1;rang(A) =3, si a ≠ −1.