`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 20. Solucions i resolucions comentades - 151coincideix amb la seva multiplicitat geomètrica (la dimensió del subespai vectorial Ker(A−λ i Id)).Per tant, un cop es té la descomposició del polinomi característic en factors lineals, per sabersi la matriu és diagonalitzable únicament falta comprovar que les multiplicitats algebraica igeomètrica coincideixen. En el nostre cas això resulta evident ja que, en general, la multiplicitatgeomètrica està fitada per l’algebraica, és a dir es té que1 ≤ dim Ker(A − λ i Id) ≤ n λion n λi denota la multiplicitat algebraica del valor propi λ i . Com a conseqüència d’això, si lamultiplicitat algebraica d’un valor propi és 1, aleshores la seva multiplicitat geomètrica també iambdós valors coincideixen.Aquesta és la situació en la matriu A que estem considerant: com que el polinomi característic tétotes les arrels diferents, totes elles tenen multiplicitat algebraica 1 i, per l’exposició que acabemde fer, també tenen multiplicitat geomètrica 1. Així doncs, podem afirmar que la matriu A ésdiagonalitzable. A més, com que la descomposició del polinomi característic és vàlida tant a Q,com a R o C, aleshores podem afirmar que la matriu és diagonalitzable en tots tres cossos.En el cas en què només volguéssim determinar si la matriu A és diagonalitzable o no ja hauríemacabat. Tanmateix també ens demanen trobar la forma diagonal associada i una base en la qualla matriu diagonalitza, i això és el que farem a continuació.- Forma diagonal associada.Com hem explicat en la discussió teòrica prèvia a la resolució del problema, la forma diagonalassociada D a la matriu A s’obté “escrivint en la diagonal” els valors propis µ 1 , . . . , µ n de lamatriu, mentre que els vectors v 1 , . . . , v n que ens donen el canvi de base P són una base devectors propis de la matriu. És a dir, es té que A = P DP −1 on la forma diagonal D ésD = Diag(µ 1 , . . . , µ n ) i on les columnes de P determinen una base de vectors propis v 1 , . . . , v nde la matriu A (concretament el vector v i és un vector propi de la matriu A de valor propi µ i ).Per tant en el nostre cas tenim A = P DP −1 on la forma diagonal D ésD = Diag(λ 1 , λ 2 , λ 3 ) = Diag(−1, −3, 2) =⎛⎝ −1 0 0 −3 00⎞⎠0 0 2i on la matriu P és la matriu⎛↑ ↑⎞↑P = ⎝v 1 v 2 v 3⎠↓ ↓ ↓que té per columnes una base de vectors propis v 1 , v 2 , v 3 . Concretament el vector v i és un vectorpropi de valor propi λ i . Ara, per tant, hem de calcular una base de vectors propis.- Vectors propis de la matriu A de valor propi −1.Cada vector propi està associat a un únic valor propi (tot i que cada valor propi por tenir coma màxim tants vectors propis linealment independents com la seva multiplicitat algebraica), iaquests vectors es determinen com els elements no nuls dels subespais vectorials Ker(A − λ Id),on λ ∈ K és un valor propi de la matriu.