`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 12. Solucions i resolucions comentades - 93i per tant F = ⟨(1, −2, 0, 0), (0, 0, 1, −1)⟩.- Passem a G 1 . Com abans, ara les equacions que defineixen aquest subespai són:{ {y = zy − z = 0⇐⇒y = x + t x − y + t = 0on hem omès la tercera equació (z = x + t) perquè és clarament combinació lineal de les duesanteriors i, per tant, no ens afegeix condicions addicionals. Aquestes equacions les podem escriurematricialment de la següent manera:( 0 1 −1 01 −1 0 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞) x 0⎜y⎟⎝z⎠ = ⎜0⎟⎝0⎠ .t 0La matriu d’aquest sistema també té rang 2 i, per tant, la dimensió del subespai vectorial G 1 ésdim G 1 = 4 − 2 = 2. Pel mateix procediment d’abans, tenim que G 1 = ⟨(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1)⟩.- Vegem ara G 2 . Les equacions que defineixen aquest subespai són:{ {y = zy − z = 0⇐⇒y = x − t x − y − t = 0que, escrites en forma matricial esdevenen:( 0 1 −1 01 −1 0 −1⎛ ⎞ ⎛ ⎞)x 0⎜y⎟⎝z⎠ = ⎜0⎟⎝0⎠t 0i la matriu del sistema té, de nou, rang 2, d’on es dedueix que la dimensió del subespai G 2és dim G 2 = 4 − 2 = 2. Anàlogament a com ho hem fet per a F i per a G 1 , ara es té queG 2 = ⟨(1, 1, 1, 0), (0, −1, −1, 1)⟩.- Ara que tenim les dimensions i bases dels subespais vectorials F , G 1 i G 2 , anem a comprovarque R 4 = F ⊕ G i per a i = 1, 2.- Anem a veure que R 4 = F ⊕ G 1 .- Vegem en primer lloc que R 4 = F + G 1 , és a dir, que la unió de les bases de F i de G 1 és unsistema de generadors de R 4 . Tal i com acabem de calcular, tenim:F = ⟨(1, −2, 0, 0), (0, 0, 1, −1)⟩G 1 = ⟨(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1)⟩Per tant, veure que la unió d’aquestes dues bases genera R 4 és equivalent a veure que la matriudels vectors posats en columna: