`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

22 - Exercicis i problemes. § 2.Resolució (b.2)- A primer cop d’ull aquest problema ens podria suggerir d’invertir la matriu A i trobar (x, y, z)(en cas que la matriu fos invertible) 4 , però en realitat ens podem estalviar aquest càlcul. Fixemnosque el producte de qualsevol matriu pel vector 0 dóna com a resultat el vector 0 de nou.Per tant, no ens cal conèixer explícitament la matriu inversa de A, només necessitem saber queexisteix i ja tindrem la solució sense necessitat de fer cap càlcul. Per tant, si la matriu A ésinvertible, el sistema és compatible determinat i l’única solució és x = y = z = 0.De fet recordem el que hem dit abans: un sistema homogeni Ax = 0 amb n equacions i nincògnites és compatible determinat si i només si la matriu A del sistema és una matriu invertiblei, en aquest cas, x = A −1 0 = 0 és l’única solució del sistema.- Per a aquells valors del paràmetre pels quals la matriu A no és invertible (en el nostre cas,només a = −1) caldrà trobar la solució de manera alternativa. Per exemple, podem triangular lamatriu mitjançant transformacions per files i resoldre el sistema que obtindrem 5 . Notem, però,que no és necessari fer cap càlcul perquè ja hem triangulat la matriu A en l’apartat (a.1). Pertant, només ens faltaria aplicar les transformacions de files que hem fet en la matriu al vector determes independents, però en tractar-se del vector (0, 0, 0) no ens cal fer res (qualsevol operacióelemental de zeros donarà zero) 6 .- Així doncs, volem resoldre el següent sistema lineal:⎛⎝ 1 1 1 ⎞ ⎛0 2 3 ⎠ ⎝ x ⎞ ⎛y⎠ = ⎝ 0 ⎞ ⎧⎨0⎠ ⇐⇒⎩0 0 a + 1 z 0x + y + z = 02y + 3z = 0(a + 1)z = 0Recordem, a més, que estem estudiant el cas en què el sistema és compatible indeterminat, és adir, a = −1. Aleshores ens queda el sistema:⎧⎨⎩x + y + z = 02y + 3z = 00z = 0Fixem-nos que la darrera equació ens diu que z pot prendre qualsevol valor real i per tant quedaràcom a paràmetre. Posem z = α i trobem la solució en funció de α:{ x + y + α = 02y + 3α = 0La segona equació es pot resoldre fàcilment, y = −3α/2. Ara, si substituïm el valor de y en laprimera equació aleshores obtindrem el valor de x, concretament obtenim x = α/2.4 Recordeu que si A és una matriu invertible, aleshores l’única solució del sistema Ax = b és x = A −1 b.5 Aquest mètode de resolució de sistemes d’equacions lineals s’anomena mètode per substitució enrere (o inversa),ja que el sistema triangulat inferiorment (els zeros estan per sota de la diagonal) té la darrera equació directa deresoldre i podem anar substituint de la penúltima a la primera els valors de les incògnites que anem trobant. Sitriangulem el sistema superiorment (els zeros es troben per sobre de la diagonal), en diem mètode per substitucióendavant (o directa).6 Si el sistema fos complet, és a dir, si el vector de termes independents no fos el vector 0, aleshores aquestargument no seria vàlid. En l’apartat (c) en veurem un exemple.