`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

§ 2. Solucions i resolucions comentades - 21i imposem ara que A · B = Id:⎛⎝ 0 1 01 0 02 + a −2 − a −1 − ad’on es dedueix a = −2.⎞⎠ =⎛⎝ 1 0 00 1 00 0 1⎞ ⎧⎨⎠ ⇐⇒⎩2 + a = 0−2 − a = 0−1 − a = 1- Observació. Podríem haver considerat el producte B · A i haver imposat B · A = Id. D’aquestamanera hauríem obtingut el mateix resultat final 3 . Deixem com a exercici al lector fer aquestscàlculs.Resolució (b.1)- Comencem per escriure aquest sistema d’equacions lineals en forma matricial:⎛⎝ 1 1 1 ⎞ ⎛−1 1 2 ⎠ ⎝ x ⎞ ⎛y⎠ = ⎝ 0 ⎞0⎠ .2 0 a z 0- Fixem-nos que la matriu del sistema és exactament la matriu A que hem estudiat en l’apartatanterior. Això ens estalviarà molts càlculs, ja que determinar per a quins valors del paràmetrea ∈ R el sistema homogeni és compatible determinat és equivalent a determinar per a quinsvalors del paràmetre la matriu del sistema té rang màxim, i això últim ho hem fet en l’apartat(a.1). En particular, en l’esmentat apartat hem provat que el rang de la matriu A és 3 (màxim)si i només si a ≠ −1.Per tant, el sistema és compatible determinat per a a ≠ −1. Altrament, si a = −1, el sistemaserà compatible indeterminat.- Observació. Un sistema homogeni Ax = 0, amb A una matriu qualsevol, mai pot ser incompatibleja que x = 0 sempre és solució d’un sistema homogeni (és l’anomenada solució trivial).En termes de rangs, afegir una fila o columna de zeros a una matriu no en canvia el rang, iper tant la matriu del sistema i la matriu ampliada del sistema homogeni sempre tindran elmateix rang, de manera que el sistema serà sempre compatible. Per tant, un sistema homogenio bé és compatible determinat (té una única solució que és la solució trivial) o bé és compatibleindeterminat (té infinites solucions).- Observació. Un sistema homogeni Ax = 0 de m equacions i n incògnites és compatible determinatsi i només si el rang de la matriu del sistema coincideix amb el nombre d’incògnitesdel sistema, és a dir si i només si rang(A) = n. En particular si m = n aleshores, el sistemahomogeni Ax = 0 és compatible determinat si i només si rang(A) = n si i només si det(A) ≠ 0si i només si la matriu A és invertible.3 Per veure que A −1 = B en principi hauríem de comprovar les dues igualtats. És a dir, en principi hauríem deveure que A · B = Id i que B · A = Id. Ara bé, es pot demostrar que si es té una de les dues igualtats aleshorestambé es té l’altra. Per tant realment n’hi ha prou amb comprovar-ne només una.