`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

160 - Exercicis i problemes. § 20.Ara anem a determinar una base de cada un d’aquests subespais. Observem que el subespaivectorial Ker(A + 3 Id) és el subespai dels vectors propis de valor propi −3 del qual abans jan’hem calculat una baseKer(A + 3 Id) = ⟨(8, −1, 3)⟩i, per tant, únicament hem de calcular una base del subespai dos dimensional Ker A 2 . Anem afer-ho. Com que A 2 és la matriu⎛A 2 = ⎝ 0 −72 0 ⎞0 9 0 ⎠0 −27 0aleshores el seu nucli és el subespaiKer A 2 = ⟨(1, 0, 0), (0, 0, 1)⟩i per tant {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} és una base de Ker A 2 . Ara bé, de “bases n’hi ha moltes” i en aquestcas “n’hi ha una de millor”. En efecte, recordem que es té la inclusió Ker A ⊆ Ker A 2 , (de feten aquest cas aquesta inclusió és estricta ja que dim Ker A = 1 ≠ 2 = dim Ker A 2 ). Per tant, toti que Ker A 2 no és un subespai de vectors propis, podem afirmar que Ker A 2 conté el subespaivectorial Ker A que sí que és un subespai de vectors propis (els vectors propis de valor propi 0).Així podem obtenir una “bona base” del subespai Ker A 2 completant una base del subespai devectors propis Ker A. En el nostre cas, com quealeshores completant tindrem queKer A = ⟨(2, 0, 1)⟩Ker A 2 = ⟨(2, 0, 1), (1, 0, 0)⟩.En conclusió, tenim la descomposició de K 3 en subespais invariants ésK 3 = Ker(A + 3 Id) ⊕ Ker A 2= ⟨(8, −1, 3)⟩ ⊕ ⟨(2, 0, 1), (1, 0, 0)⟩i una base de K 3 associada a aquesta descomposició és la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } onv 1 = (8, −1, 3)v 2 = (2, 0, 1)v 3 = (1, 0, 0).- Forma diagonal per blocs associada.Per acabar, fent servir la descomposició de K 3 com suma directa de subespais invariants, calcularemuna matriu diagonal per blocs associada D ∈ M 3 (K) i una matriu invertible P ∈ M 3 (K)tal que A = P DP −1 .En el nostre cas hem vist que l’espai vectorial K 3 descompon com suma directa d’un subespaiinvariant de dimensió 1 i d’un subespai invariant de dimensió 2. Per tant podem afirmar que lamatriu D associada serà una matriu diagonal per blocs amb un bloc 1 × 1 i un bloc 2 × 2 (ja quecada bloc correspon a cada un dels dos sumands de la descomposició). A més, pel que hem feta teoria sabem que com matriu invertible P podem considerar la matriu