`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

Enunciats - 5Matrius, determinants i sistemes d’equacions lineals{ x −2y = 3(a + b)1. Determineu per a quins valors dels paràmetres reals a, b el sistema{x −y = 2(a + b) + 1ax +by = ai el sistema2 − b 2 − 6bx +ay = b 2 − a 2 tenen una solució comuna.+ 6⎛2. (a) Sigui A la matriu A = ⎝1 1 1−1 1 22 0 a⎞⎠ on a és un paràmetre real. Es demana:(a.1) Determineu el rang de la matriu A. Quan A és invertible?(a.2) Per a a = 0 calculeu A −1 ⎛.(a.3) Determineu els valors de a pels quals A −1 = ⎝⎧⎨(b) Considerem el sistema homogeni⎩x + y + z = 0−x + y + 2z = 02x + az = 01 −1 −1/2−1 2 3/21 −1 −1(b.1) Per a quins valors de a el sistema és compatible determinat?(b.2) Calculeu les solucions del sistema segons els diferents valors del paràmetre a.(b.3) Determineu a, b de manera que (x, y, z) = (2, b, 4) sigui una solució del sistema.⎧⎨ x + y + z = 1(c) Considerem el sistema d’equacions −x + y + 2z = 3 .⎩2x + az = c(c.1) Per a quins valors de a,c el sistema és compatible? quan és compatible determinat?quan és compatible indeterminat?(c.2) Determineu els valors a, c de manera que (x, y, z) = (−2, 5, −2) sigui una solució delsistema. Quan és l’única solució del sistema?(c.3) Demostreu que no existeixen a, c de manera que (x, y, z) = (0, 0, 1) sigui una soluciódel sistema.(c.4) Determineu la solució general del sistema en el cas a = 0 i c arbitrari.(c.5) Determineu la solució general del sistema en el cas a arbitrari i c = −2..⎞⎠.Espais vectorials3. Demostreu que el conjunt B és una base de l’espai E que s’indica i, en cada cas, determineules coordenades de l’element w en la base B.(a) En R 2 el conjunt B = {u 1 , u 2 } on u 1 = (1, 2), u 2 = (3, 4), i l’element genèric w = (a, b).(b) En R 3 el conjunt B = {u 1 , u 2 , u 3 } on u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (1, 1, 1), u 3 = (0, 1, 1), il’element genèric w = (a, b, c).