`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

26 - Exercicis i problemes. § 2.- Comentari. Observem que les dues primeres equacions, tot i que no ens aporten cap condiciósobre els paràmetres a, c, ens asseguren que el vector (−2, 5, −2) pot ser una solució del sistema.Com ja hem dit abans, si alguna d’aquestes equacions donés una identitat falsa o sense sentit,això implicaria que el vector que estem avaluant no seria solució per a cap valor de a, c. En elproper apartat en veurem un exemple.Resolució (c.3)- En aquest apartat veurem un exemple del que hem comentat en els apartats (b.3) i (c.2). Procediremde la mateixa manera que en els dos apartats que hem citat: avaluarem (x, y, z) = (0, 0, 1) enel sistema d’equacions i buscarem condicions per a a i per a c per tal que sigui solució. Avaluant,obtenim les següents equacions:⎧⎨⎩0 + 0 + 1 = 1−0 + 0 + 2 = 3a = c⎧⎨ 1 = 1⇐⇒ 2 = 3⎩a = cFixem-nos que la primera equació ens dóna una identitat certa, i l’última ens imposa una condiciósobre a i c. Tanmateix, la segona equació porta a un absurd (2 i 3 no són iguals en els reals) queno podem arreglar per a cap valor de a, c ja que no apareixen en aquesta equació.- Per tant, (x, y, z) = (0, 0, 1) no pot ser una solució del sistema per a cap valor de a, c.Resolució (c.4)- Observem que, com que prenem a = 0 ≠ −1 l’apartat (c.1) ens assegura que el sistema éscompatible determinat, i per tant tindrem solució única en funció de c, (per a cada valor de ctindrem una única solució).- Atès que el sistema és compatible determinat, la matriu del sistema és invertible i podem calcularla solució multiplicant la matriu inversa de A pel vector de termes independents. Però en l’apartat(a.2) hem calculat la matriu inversa de A quan a = 0, de manera que només ens queda fer elproducte pel vector de termes independents per trobar la solució del sistema:⎛⎞⎝ x y⎠ =z⎛⎝ 2 −1 −3/20 0 1/2−1 1 1⎞ ⎛ ⎞⎠⎝ 1 3⎠ =c- Per tant, la solució és (x, y, z) = (c/2, −1 − 3c/2, c + 2), c ∈ R.⎛⎞ ⎛c/2⎝2 − 3 − 3c/2⎠ = ⎝ c/2−1 + 3 + c−1 − 3c/22 + c⎞⎠ .- Comentari. Donat un sistema d’equacions lineals Ax = b, en cas que no tinguem la matriuA −1 , el podem resoldre mitjançant el mètode de Gauss o bé amb la regla de Cramer (en aquestúltim cas cal que la matriu del sistema tingui determinant no nul). El mètode de Cramer, però,no és més que fer el càlcul A −1 b restringit a cada incògnita del sistema de manera que, de fet,en calcular A −1 b estem aplicant la regla de Cramer amb totes les incògnites simultàniament.