`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

132 - Exercicis i problemes. § 18.- Recordem que, per definició de base dual, s’ha de complir:ρ i (v j ) = δ ij ={1, si i = j0, altrament- Atès que tenim les formes ρ i com combinacions lineals de la base dual {e ∗ 1, e ∗ 2, e ∗ 3}, el més naturalés determinar els vectors v j com combinacions lineals de la base {e 1 , e 2 , e 3 }.- Suposem doncs que els vectors v j , 1 ≤ j ≤ 3, tenen la següent expressió en coordenades en labase {e 1 , e 2 , e 3 }:v j = (a j1 , a j2 , a j3 )i, per tant, el que ara hem de fer és determinar els coeficients a jk per a 1 ≤ j, k ≤ 3.- Observem que podem reescriure els vectors v j de la següent manera:v j = a j1 e 1 + a j2 e 2 + a j3 e 3 .- Ara imposem que B ha de ser la base dual de B i obtenim, d’aquesta manera, els sistemes:⎧⎨⎩ρ 1 (v 1 ) = 1ρ 1 (v 2 ) = 0ρ 1 (v 3 ) = 0⎧⎨⎩ρ 2 (v 1 ) = 0ρ 2 (v 2 ) = 1ρ 2 (v 3 ) = 0⎧⎨⎩ρ 3 (v 1 ) = 0ρ 3 (v 2 ) = 0ρ 3 (v 3 ) = 1- Substituint v j per l’expressió que hem donat a dalt i desenvolupant per la linealitat de les formesρ i , tenim:⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩1 = ρ 1 (v 1 ) = ρ 1 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3 ) = a 11 ρ 1 (e 1 ) + a 12 ρ 1 (e 2 ) + a 13 ρ 1 (e 3 )0 = ρ 1 (v 2 ) = ρ 1 (a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3 ) = a 21 ρ 1 (e 1 ) + a 22 ρ 1 (e 2 ) + a 23 ρ 1 (e 3 )0 = ρ 1 (v 3 ) = ρ 1 (a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3 ) = a 31 ρ 1 (e 1 ) + a 32 ρ 1 (e 2 ) + a 33 ρ 1 (e 3 )0 = ρ 2 (v 1 ) = ρ 2 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3 ) = a 11 ρ 2 (e 1 ) + a 12 ρ 2 (e 2 ) + a 13 ρ 2 (e 3 )1 = ρ 2 (v 2 ) = ρ 2 (a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3 ) = a 21 ρ 2 (e 1 ) + a 22 ρ 2 (e 2 ) + a 23 ρ 2 (e 3 )0 = ρ 2 (v 3 ) = ρ 2 (a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3 ) = a 31 ρ 2 (e 1 ) + a 32 ρ 2 (e 2 ) + a 33 ρ 2 (e 3 )0 = ρ 3 (v 1 ) = ρ 3 (a 11 e 1 + a 12 e 2 + a 13 e 3 ) = a 11 ρ 3 (e 1 ) + a 12 ρ 3 (e 2 ) + a 13 ρ 3 (e 3 )0 = ρ 3 (v 2 ) = ρ 3 (a 21 e 1 + a 22 e 2 + a 23 e 3 ) = a 21 ρ 3 (e 1 ) + a 22 ρ 3 (e 2 ) + a 23 ρ 3 (e 3 )1 = ρ 3 (v 3 ) = ρ 3 (a 31 e 1 + a 32 e 2 + a 33 e 3 ) = a 31 ρ 3 (e 1 ) + a 32 ρ 3 (e 2 ) + a 33 ρ 3 (e 3 )- Substituint ara ρ i per les seves expressions en la base {e ∗ 1, e ∗ 2, e ∗ 3}, ens queda:⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩1 = a 11 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 1 ) + a 12 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 2 ) + a 13 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 3 )0 = a 21 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 1 ) + a 22 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 2 ) + a 23 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 3 )0 = a 31 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 1 ) + a 32 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 2 ) + a 33 (e ∗ 1 − e ∗ 2)(e 3 )0 = a 11 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 1 ) + a 12 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 2 ) + a 13 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 3 )1 = a 21 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 1 ) + a 22 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 2 ) + a 23 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 3 )0 = a 31 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 1 ) + a 32 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 2 ) + a 33 (e ∗ 1 − e ∗ 3)(e 3 )0 = a 11 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 1 ) + a 12 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 2 ) + a 13 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 3 )0 = a 21 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 1 ) + a 22 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 2 ) + a 23 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 3 )1 = a 31 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 1 ) + a 32 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 2 ) + a 33 (e ∗ 2 + e ∗ 3)(e 3 )