`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

200 - Exercicis i problemes. § 25.⎛⎞⟨e 1 , e 1 ⟩ · · · ⟨e 1 , e n ⟩⎜A = ⎝.. .. .⎟⎠⟨e n , e 1 ⟩ · · · ⟨e n , e n ⟩on {e 1 , . . . , e n } és la base canònica de R n . Òbviament la matriu A és una matriu simètrica.3. Matrius que defineixen productes escalars de R n .Les matrius simètriques que defineixen productes escalars es poden caracteritzar fent servirels seus valors propis o fent servir el criteri de Sylvester. Concretament, si A ∈ M n (R) ésuna matriu amb coeficients reals aleshores l’aplicació ⟨·, ·⟩ : R n × R n → R definida per⎜⟨(x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , y n )⟩ = (x 1 , . . . , x n )A ⎝és un producte escalar real si i només si la matriu A és una matriu simètrica i tots els seusvalors propis són nombres reals estrictament positius, si i només si la matriu A és simètricai det A i > 0 per a tot i ∈ {1, . . . , n} on A i és el menor format per les i primeres files i les iprimeres columnes de la matriu A, és a dir:⎛a 1,1 · · · a 1,i · · · a 1,n⎛⎜⎟A 1 = (a 1,1 ), . . . , A i =⎜⎝a 1,1 · · · a 1,i⎞.. .. . ⎟⎠ , . . . , A n =⎜⎝⎛y 1. .y n⎞⎟⎠⎞.. .. . . . a i,1 · · · a i,i · · · a i,n.... ⎟. .. . ⎠a n,1 · · · a n,i · · · a n,n- Passem, ara, a la resolució d’aquest exercici.Resolució (a)- En aquest primer apartat tenim l’aplicació ⟨·, ·⟩: R 2 × R 2 → R definida per:⟨(x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )⟩ = 2x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 4x 2 y 2 .- Per comprovar que aquesta aplicació ens defineix un producte escalar a R 2 , el que farem seràtreballar tant amb la definició com amb la representació matricial.- Primer anem a veure que l’aplicació ⟨·, ·⟩ és lineal en el primer factor. És a dir, anem a comprovarque per a tot u, v, w ∈ R 2 i per a tot λ, µ ∈ R es té que ⟨λu + µv, w⟩ = λ⟨u, w⟩ + µ⟨v, w⟩.Siguin, doncs, u = (x 1 , x 2 ), v = (y 1 , y 2 ), w = (z 1 , z 2 ) ∈ R 2 i siguin λ, µ ∈ R. Aleshores, fentservir la definició de ⟨·, ·⟩ i calculant es té que: