`ALGEBRA LINEAL Exercicis i problemes comentats - Departament ...

196 - Exercicis i problemes. § 24.⎛D = Diag(µ 1 , µ 2 , . . . , µ n−1 , µ n ) =⎜⎝⎞µ 1 0 · · · 0 00 µ 2 · · · 0 0... .. . . ∈ M⎟ n (K)0 0 · · · µ n−1 0 ⎠0 0 · · · 0 µ nés una matriu diagonal d’ordre n ≥ 2 amb coeficients en un cos K aleshores la potència i-èsimade D es calcula trivialment de la següent manera:⎛⎞µ i 1 0 · · · 0 00 µ i 2 · · · 0 0D i = Diag(µ i 1, µ i 2, . . . , µ i n−1, µ i n) =⎜ ... .. . . .⎟⎝ 0 0 · · · µ i n−1 0 ⎠0 0 · · · 0 µ i nÉs a dir, per obtenir la potència i-èsima D i de la matriu D n’hi ha prou amb calcular la potènciai-èsima dels elements de D.- Fent servir aquest resultat podem calcular “més fàcilment” les potències i-èsimes de les matriusdiagonalitzables, ja que si A ∈ M n (K) és una matriu K-diagonalitzable amb forma diagonalD = Diag(µ 1 , . . . , µ n ) ∈ M n (K), aleshores existeix una matriu invertible P ∈ M n (K) tal queA = P DP −1i, per tant, la potència i-èsima de la matriu A la podem obtenir calcular la potència i-èsima dela matriu diagonal D i fent servir la següent igualtat:A i = (P DP −1 ) i= (P DP −1 ) . i . . (P DP −1 )= P DP −1 P . . . P −1 P DP −1= P D i P −1 .- Ara la idea és la següent: com que sabem calcular “potències” i-èsimes de matrius diagonalitzables,podrem calcular “arrels” i-èsimes de matrius diagonalitzables (sempre i quan existeixin).Concretament, donada una matriu K-diagonalitzable A ∈ M n (K), per determinar una matriuB ∈ M n (K) tal que B i = A el que podem fer és, primer, calcular una matriu diagonal D =Diag(µ 1 , . . . , µ n ) ∈ M n (K) i una matriu invertible P ∈ M n (K) tal que A = P DP −1 .Un cop fet això determinem una matriu diagonal D i = Diag(ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ M n (K) tal queDi i = D. Observeu que aquesta matriu existeix si i només si en el cos K existeixen les arrelsi-èsimes dels escalars µ 1 , . . . , µ n , ja que volem ξj i = µ j per a j = 1, . . . , n.Finalment considerem la matriu B = P D i P −1 que, pel dit abans, té per poténcia i-èsima lamatriu A ja que:B i = (P D i P −1 ) i= P D i iP −1= P DP −1= A.